1、数学二历年考研试题及答案详解（20032015）2015年全国硕士研讨生入学共同考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只需一个选项契合标题需求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.(1) 下列异常积分收敛的是 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】，则.(2) 函数 在内( )(a) 接连 (b) 有可去接连点(c) 有跳动接连点(d) 有无量接连点【答案】(b)【解析】，故有可去接连点.(3) 设函数,若在处接连则:( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(a)【解析】时，时，在处接连则:得得:，答案选择

2、a(4)设函数在内接连，其间二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(c)【解析】根据图像调查存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数满足 ，则与 顺次是 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】此题查询二元复合函数偏导的求解.令，则，然后变为.故，因而.故选（d）.(6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上接连，则 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(b)【解析】根据图可得，在极坐标系下核算该二重积分的积分区域为所以故选b.(7) 设矩阵,.若集结，则线性方程组有无量多解的充分必

3、要条件为 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】，由，故或，一起或.故选（d）(8) 设二次型在正交改换下的标准形为，其间，若则在正交改换下的标准形为( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(a)【解析】由，故.且.由已知可得故所以.选（a）二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定方位上. (9) 则 【答案】48【解析】 . (10)函数在处的阶导数_【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得:(11) 设接连，若，则 【答案】【解析】 已知，求导得，故有则. (12)设函数是微分方程的解，且在处获得极值3，则= .【答案】【解析】由题意知:，

4、由特征方程:解得所以微分方程的通解为:代入，解得:解得:(13)若函数由方程断定，则= .【答案】【解析】其时，则对该式两端求偏导可得.将（0,0,0）点值代入即有则可得(14) 若阶矩阵的特征值为，其间为阶单位阵，则部队式 .【答案】21【解析】的一切特征值为的一切特征值为所以.三、答复题:1523小题,共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15) (本题满分10分）设函数，.若与在时是等价无量小，求的值. 【答案】【解析】办法一:因为，那么， ，可得:，所以，办法二:由题意得由分母，得分子，求得c；所以 由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式

5、，求得 (16) (本题满分10分)设a>0，d是由曲线段及直线，所围成的平面区域，别离标明d绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求a的值.【答案】【解析】由旋转体的体积公式，得 由题求得(17) (本题满分11分)已知函数满足，求 的极值.【答案】极小值【解析】两端对y积分，得 ，故，求得，故，两端关于x积分，得 由，求得所以.令，求得.又， ，其时，为极小值.(18) (本题满分10分)核算二重积分，其间【答案】【解析】(19)(本题满分 11 分)已知函数，求零点的个数？【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递加故为仅有的极小值,也是最小值.而 在,故然后有思考，所以

6、.所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时刻的改变率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度持续降至，还需冷却多长时刻？【答案】【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则，然后，所以，即又所以，所以其时，所以还需要冷却min.(21) (本题满分10分) 已知函数在区间上具有2阶导数，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明.【证明】根据题意得点处的切线方程为令，得因为所以单调递加，又因为所以，又因为所以又因为，而在区间（a,

7、b）上使用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递加所以所以，即，所以，结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵且.(1) 求的值；(2) 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.【答案】【解析】(i)(ii)由题意知， (23) (本题满分11 分)设矩阵类似于矩阵.（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角阵.【答案】（1）；（2）【解析】(i)(ii)的特征值时的基础解系为时的基础解系为a的特征值令，文档内容由 考研网 收拾发布。2012年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只需一个选项契合标题需求的,请将所选项前的字母

8、填在答题纸指定方位上.(1)曲线的渐近线条数 ( )(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3(2) 设函数，其间为正整数,则 ( )(a) (b) (c) (d) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( )(a) 充分必要条件 (b) 充分非必要条件 (c) 必要非充分条件 (d) 非充分也非必要(4) 设则有 ( )(a) (b) (c) (d) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式树立的一个充分条件是 ( )(a) (b) (c) (d) (6) 设区域由曲线围成，则 ( )(a) (b) 2 (c) -2 (d) – (7) 设, , , ,其间为任意常数，则下列向量

9、组线性有关的为 ( )(a) (b) (c) (d) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 ( )(a) (b) (c) (d)二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定方位上.(9) 设是由方程所断定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其间函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交流的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、答复题:15-23小题,共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记

10、，(i)求的值;(ii)若时，与是同阶无量小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)核算二重积分，其间区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(i) 求的表达式;(ii) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分) 证明,.(21)(本题满分10 分)(i)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(ii)记(i)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(i) 核算部队式；(

11、ii) 当实数为何值时，方程组有无量多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(i) 务实数的值；(ii) 求正交改换将化为标准形.2011年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、 选择题:18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只需一个选项是契合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上。（1）已知其时，函数与是等价无量小，则（ ）（a） （b）（c） （d）（2）设函数在处可导，且，则（ ）（a） （b） （c） （d）（3）函数的驻点个数为（ ）（a）0 （b）1 （c）2 （d）3（4）微分方程的特解方法为（ ）（a） （b）（c）

12、 （d）（5）设函数，均有二阶接连导数，满足，则函数在点处获得极小值的一个充分条件是（ ）（a）， （b），（c）， （d）， （6）设，则，的巨细联络为（ ） （a） （b） （c） （d）（7）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交流的第2行与第3行得单位矩阵。记，则=（ ） （a） （b） （c） （d）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。如果方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（ ） （a） （b） （c） （d）二、填空题:914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定方位上。（9） 。（10）微分方程满足条件的解为 。（11）曲线 的弧长 。（12）设函数 ，则

13、。（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分 。（14）二次型，则的正惯性指数为 。三、答复题:1523小题，共94分。请将答复写在答题纸指定方位上，回容许字阐明、证明进程或演算进程。（15）（本题满分10分） 已知函数，设，试求的取值规模。（16）（本题满分11分） 设函数由参数方程 断定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点。（17）（本题满分9分） 设函数，其间函数具有二阶接连偏导数，函数可导且在处获得极值，求。（18）（本题满分10分） 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。（19）（本题满分10分） （i）证明:对任意的正整数，都有成

14、立。 （ii）设，证明数列收敛。（20）（本题满分11分） 一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与联接而成。 （i）求容器的容积； （ii）若将容器内盛满的水沉着器顶部悉数抽出，至少需要做多少功？（长度单位:，重力加速度为，水的密度为）（21）（本题满分11分） 已知函数具有二阶接连偏导数，且，其间，核算二重积分。（22）（本题满分11分） 设向量组，不能由向量组，线性标明。 （i）求的值； （ii）将用线性标明。（23）（本题满分11分） 设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且。 （i）求的一切的特征值与特征向量； （ii）求矩阵。2010年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题

15、一选择题(1)a0 b1 c2 d32.设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则a b c d(1)a4e b3e c2e de4.设为正整数,则异常积分的收敛性a仅与取值有关 b仅与取值有关c与取值都有关 d与取值都无关5.设函数由方程断定,其间为可微函数,且则=ab c d 6.(4)= a b cd7.设向量组，下列出题正确的是:a若向量组i线性无关，则 b若向量组i线性有关，则r>sc若向量组ii线性无关，则 d若向量组ii线性有关，则r>s(a) 设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则类似于a b cd 二填空题9.3阶常系数

16、线性齐次微分方程的通解y=_10. 曲线的渐近线方程为_11. 函数12.13. 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率添加，宽w以3cm/s的速率添加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线添加的速率为_14. 设a，b为3阶矩阵，且三答复题15.16.(1)比照与的巨细,阐明理由. (2)记求极限17. 17.设函数y=f(x)由参数方程18. 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，核算油的质量。（长度单

位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.20.21. 设函数f(x)在闭区间0,1上接连，在开区间(0,1)内可导，且f

17、(0)=0,f(1)=,证明:存在22.23.设，正交矩阵q使得为对角矩阵，若q的第一列为，求a、q.2009年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去接连点的个数，则（ ）1.2. 3.无量多个.（2）其时，与是等价无量小，则（ ）. .（3）设函数的全微分为，则点（ ）不是的接连点.不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点.（4）设函数接连，则（ ）. . .（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）有极值点，无零点.无极值点，有零点

18、. 有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为:1-2023-1o则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）设、均为2阶矩阵，别离为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）. .（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（ ）. .二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定方位上.（9）曲线在处的切线方程为 （10）已知,则 （11） （12）设是由方程断定的隐函数，则 （13）函数在区间上的最小值为 (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵类似于，则 三、答复题:152

19、3小题，共94分.请将答复写在答题纸指定的方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10 分）核算不定积分 （17）（本题满分10分）设，其间具有2阶接连偏导数，求与（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分，其间（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，其时，曲线就任一点处的法线都过原点，其时，函数满足。求的表达式（21）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理:若函数在上接连，在可导，则存在，使得（）证明:若

20、函数在处接连，在内可导，且，则存在，且。（22）（本题满分11分）设，（）求满足的一切向量（）对（）中的任一贯量，证明:线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的一切特征值；（）若二次型的标准形为，求的值。2008年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（ ）0 1. 2 3（2）曲线方程为函数在区间上有接连导数，则定积分（ ）曲边梯形abod面积.梯形abod面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）鄙人列微分方程中，以（为

21、任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数在内单调有界，为数列，下列出题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数接连，若，其间区域为图中阴影有些，则 （7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可以逆，不可以逆. 不可以逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可以逆. （8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）. . 二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定方位上.（9） 已知函数接连，且，则.（10）微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为.（12）曲线的拐点坐标为_.（13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为

22、.若部队式，则.三、答复题:1523题，共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15)（本题满分9分）求极限.(16)（本题满分10分）设函数由参数方程断定，其间是初值疑问的解.求.(17)（本题满分9分）求积分 .(18)（本题满分11分）求二重积分其间(19)（本题满分11分）设是区间上具有接连导数的单调添加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的旁边面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理:若函数在闭区间上接连，则至少存在一点，使得 (2)若函

23、数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点（21）（本题满分11分）求函数在捆绑条件和下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其间，（1）求证；（2）为何值，方程组有仅有解，并求；（3）为何值，方程组有无量多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的别离归于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关；（2）令，求.2007年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题:110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）其时，与等价的无量小量是 （a） （b） （c） （d

24、） （2）函数在上的第一类接连点是 （a）0 （b）1 （c） （d）（3）如图，接连函数在区间上的图形别离是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形别离是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是: （a） (b) （c） （d） （4）设函数在处接连，下列出题差错的是: （a）若存在，则 （b）若存在，则 . （c）若存在，则 （d）若存在，则. （5）曲线的渐近线的条数为（a）0. （b）1. （c）2. （d）3. （6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是: (a) 若 ，则必收敛. (b) 若 ，则必发散 (c) 若 ，则必收敛. (d) 若 ，则必发散. （7）二元

25、函数在点处可微的一个充要条件是 （a）.（b）.（c）.（d）.（8）设函数接连，则二次积分等于（a） （b）（c） （d）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性有关的是线性有关，则(a) (b) (c) .(d) . （10）设矩阵，则与 (a) 合同且类似 （b）合同，但不类似. (c) 不合同，但类似. (d) 既不合同也不类似 二、填空题:1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） _.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_.（13）设函数，则_.（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（15） 设是二元可微函数，则 _.（16）设矩阵，则的秩为 .

26、 三、答复题:1724小题，共86分. 回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其间是的反函数，求.（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所断定，设，求.（21） (本题满分11分)设函数在上接连，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明:存在，使得.（22） (本题满分11分) 设二元函数，核算二重积分，其间.

27、（23） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及一切公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的归于的一个特征向量，记，其间为3阶单位矩阵. （i）验证是矩阵的特征向量，并求的悉数特征值与特征向量；（ii）求矩阵. 2006年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、 填空题:16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线 的水平渐近线方程为 （2）设函数在处接连，则 .（3）广义积分 .（4）微分方程的通解是 （5）设函数由方程断定，则 （6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .二、选择题:714小题，每小题4分，共32分. 每

28、小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，别离为在点处对应的增量与微分，若，则 (a) . (b) .(c) . (d) . （8）设是奇函数，在外处处接连，是其第一类接连点，则是（a）接连的奇函数.（b）接连的偶函数（c）在接连的奇函数（d）在接连的偶函数. （9）设函数可微，则等于（a）.（b）（c）（d） （10）函数满足的一个微分方程是（a）（b）（c）（d） （11）设为接连函数，则等于（）. （b）.(c).(d) . （12）设均为可微函数，且，已知是在捆绑条件下的一个极值点，下列选项正确的是

29、 (a) 若，则. (b) 若，则. (c) 若，则. (d) 若，则. （13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 (b) 若线性有关，则线性有关. (c) 若线性有关，则线性无关. (c) 若线性无关，则线性有关. (d) 若线性无关，则线性无关. （14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）.（）.（）.（）.三 、答复题:1523小题，共94分.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.（15）（本题满分10分） 试断定的值，使得，其间是其时比高阶的无量小.（16）（本题满分10分）求 .（17）（本题满分10分）设区域， 核算二重积分（1

30、8）（本题满分12分）设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）核算.（19）（本题满分10分） 证明:其时，. （20）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（i）验证；（ii）若，求函数的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线l的方程（i）谈论l的凹凸性；（ii）过点引l的切线，求切点，并写出切线的方程；（iii）求此切线与l（对应于的有些）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵的秩；（）求的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个

31、解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得.2005年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设，则 = .（2）曲线的斜渐近线方程为 .（3） .（4）微分方程满足的解为 .（5）其时，与是等价无量小，则k= .（6）设均为3维列向量，记矩阵 ， 假定，那么 .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(a) 处处可导. (b) 恰有一个不可以导点.(c) 恰有两个不可以导点. (d)

32、 至稀有三个不可以导点. （8）设f(x)是接连函数f(x)的一个原函数，标明“m的充分必要条件是n”，则必有(a) f(x)是偶函数f(x)是奇函数. （b） f(x)是奇函数f(x)是偶函数.(c) f(x)是周期函数f(x)是周期函数. (d) f(x)是单调函数f(x)是单调函数. （9）设函数y=y(x)由参数方程断定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是 (a) . (b) . (c) . (d) . （10）设区域，f(x)为d上的正值接连函数，a,b为常数，则(a) . (b) . (c) . (d) . （11）设函数, 其间函数具有二阶导数， 具有一阶导数，

33、则必有 (a) . （b） .(c) . (d) . （12）设函数则(a) x=0,x=1都是f(x)的第一类接连点. （b） x=0,x=1都是f(x)的第二类接连点.(c) x=0是f(x)的第一类接连点，x=1是f(x)的第二类接连点.(d) x=0是f(x)的第二类接连点，x=1是f(x)的第一类接连点. （13）设是矩阵a的两个不一样的特征值，对应的特征向量别离为，则，线性无关的充分必要条件是(a) . (b) . (c) . (d) . （14）设a为n（）阶可逆矩阵，交流a的第1行与第2行得矩阵b, 别离为a,b的伴随矩阵，则 (d) 交流的第1列与第2列得. (b) 交流的第1

34、行与第2行得. (c) 交流的第1列与第2列得. (d) 交流的第1行与第2行得. 三 、答复题（本题共9小题，满分94分.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)接连，且，求极限（16）（本题满分11分）如图，和别离是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过就任一点m(x,y)别离作笔直于x轴和y轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为假定总有，求曲线的方程（17）（本题满分11分）如图，曲线c的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与别离是曲线c在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设

35、函数f(x)具有三阶接连导数，核算定积分（18）（本题满分12分） 用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上接连，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明:（i）存在 使得；（ii）存在两个不一样的点，使得（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分，而且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）核算二重积分，其间.（22）（本题满分9分）断定常数a,使向量组可由向量组线性标明，但向量组不能由向量组线性标明.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵a的第一行是不全为零，

36、矩阵（k为常数），且ab=o, 求线性方程组ax=0的通解.2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的接连点为 .（2）设函数由参数方程 断定, 则曲线向上凸的取值规模为_.（3）_.（4）设函数由方程断定, 则_.（5）微分方程满足的特解为_.（6）设矩阵, 矩阵满足, 其间为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则_-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把时的无量小量, , 摆放起来, 使排在后边的是前一个的

37、高阶无量小, 则正确的摆放次序是（a） （b）（c） （d） （8）设, 则（a）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（b）不是的极值点, 可是曲线的拐点.（c）是的极值点, 且是曲线的拐点.（d）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. （9）等于（a）. （b）.（c）. （d） （10）设函数接连, 且, 则存在, 使得（a）在内单调添加.（b）在内单调减小.（c）对任意的有.（d）对任意的有. （11）微分方程的特解方法可设为（a）.（b）.（c）.（d） （12）设函数接连, 区域, 则等于（a）.（b）.（c）.（d） （13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交流得, 再把的第2列加到第3

38、列得, 则满足的可逆矩阵为（a）. （b）. （c）. （d）. （14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有（a）的列向量组线性有关,的行向量组线性有关.（b）的列向量组线性有关,的列向量组线性有关.（c）的行向量组线性有关,的行向量组线性有关.（d）的行向量组线性有关,的列向量组线性有关. 三. 答复题（本题共9小题，满分94分. 回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程. ）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有界说, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其间为常数.()写出在上的表达式; ()问为何值时, 在处可导.（17）（本题满分11分）设,(

39、)证明是认为周期的周期函数;()求的值域.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 旁边面积为, 在处的底面积为.()求的值; ()核算极限.（19）（本题满分12分）设, 证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降低时,为了减小滑行间隔,在触地的片刻间,飞机尾部翻开减速伞,以增大阻力,使飞机灵敏减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经查验,减速伞翻开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长间隔是多少? 注 标明千克,标明千米/小时.（21）（本题满分10分）设,其间具有

40、接连二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并谈论是不是可类似对角化.2003年考研数学（二）真题三、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时， 与是等价无量小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程所断定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） 的麦克劳林公式中项的系数是_.（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5） 设为3维列向量，是的转

41、置. 若，则= .（6） 设三阶方阵a,b满足，其间e为三阶单位矩阵，若，则_.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,则必有(a) 对任意n树立. (b) 对任意n树立.(c) 极限不存在. (d) 极限不存在. （2）设, 则极限等于 (a) . (b) . (c) . (d) . （3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （a） (b) (c) (d) （4）设函数f(x)在内接连，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a) 一个极小值点和两个极大值点. (b) 两个极小值

42、点和一个极大值点. (c) 两个极小值点和两个极大值点.(d) 三个极小值点和一个极大值点. y o x（5）设, 则 (a) (b) (c) (d) （6）设向量组i:可由向量组ii:线性标明，则 (a) 其时，向量组ii必线性有关. (b) 其时，向量组ii必线性有关. (c) 其时，向量组i必线性有关. (d) 其时，向量组i必线性有关. 三 、（本题满分10分）设函数 问a为何值时，f(x)在x=0处接连；a为何值时，x=0是f(x)的可去接连点？四 、（本题满分9分） 设函数y=y(x)由参数方程所断定，求五 、（本题满分9分）核算不定积分 六 、（本题满分12分） 设函数y=y(x

43、)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程改换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求改换后的微分方程满足初始条件的解.七 、（本题满分12分）谈论曲线与的交点个数.8 、（本题满分12分） 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其就任一点p(x,y)处的法线与y轴的交点为q，且线段pq被x轴平分.(2) 求曲线 y=f(x)的方程；(3) 已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用标明曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据方案需求，当以的速率向容

44、器内写入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩展（假定写入液体前，容器内无液体）.(2) 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的联络式；(3) 求曲线的方程.(注:m标明长度单位米，min标明时刻单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间a,b上接连，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，证明:(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点，使；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使十 一、（本题满分10分）若矩阵类似于对角阵，试断定常数a的值；并求可逆矩阵p使十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不一样直线的方程别离为 ， ， .试证这三条直线交

45、于一点的充分必要条件为2012年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题解析一、选择题（1）【答案】:（c）【解析】:，所认为笔直渐近线 ，所认为水平渐近线，没有斜渐近线，一共两条渐近线，选（c）。（2）【答案】:（c）【解析】: 所以，故选（c）。（3）【答案】:(b)【解析】:因为，是单调递加的，可知当数列有界时，收敛，也就是存在的，此时有，也即收敛。反之，收敛，却不必定有界，例如令，显着有收敛，可是无界的。故数列有界是数列收敛的充分非必要条件，选(b)。（4）【答案】:(d)【解析】:因为其时，可知，也即，可知。又因为，对做变量代换得，故因为其时，可知，也即，可知。综上所述有，故选(d).（

46、5）【答案】:(d)【解析】:，标明函数关于变量是单调递加的，关于变量是单调递减的。因而，其时，必有，故选d（6）【答案】:（d）【解析】:区域d如图中阴影有些所示，为了便于谈论，再引入曲线将区域分为四有些。因为关于轴对称，可知在上关于的奇函数积分为零，故；又因为关于轴对称，可知在上关于的奇函数为零，故。因而，故选（d）。（7）【答案】:（c）【解析】:因为，可知线性有关。故选（c）。（8）【答案】:（b）【解析】:，则，故故选（b）。二、填空题（9）【答案】:【解析】:将代入原方程可得方程两端对求导，有，将、代入可得，所以再次求导得，再将、代入可得。（10）【答案】:【解析】:原式（11）【答案】:.【解析】:因为，所以（12）【答案】:【解析】:为一阶线性微分方程，所以又因为时，解得，故.（13）【答案】:【解析】:将代入曲率核算公式，有收拾有，解得，又，所以，这时，故该点坐标为（14）【答案】:【解析】:，其间，可知。三、答复题（15）【解析】:（1），即（2）,其时，由又因为，其时，与等价，故，即（16）【解析】:，先求函数的驻点:令，解得驻点为.又对点，有所以，故在点处获得极大值.对点，有所以，故在点处获得极小值.（17）【解析】:如图设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为:切线与轴交点为（1）（2）（18）【解析】: 令