中南大学2021年数学分析真题一、计算题（每小题10分，共40分）

，其中

计算曲面积分

<section role="presentation" data-formula="\displaystyle\iint_{\sigma} x^{3} \mathrm{d} y \mathrm{d}z+y^{3}\mathrm{d}z\mathrm{d} x+z^{3} \mathrm{d}x\mathrm{d} y

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

其中，方向指向外侧.

二、(15分) 若，且，试证：

<section role="presentation" data-formula="\frac{f(a)+f(b)}{2}<\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

三、(15分)若函数列，且关于单调递增，当时，在上逐点收敛于连续函数，试证：一致收敛于.

四、(20分)(1)求幂级数

<section role="presentation" data-formula="\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

收敛域;

(2) 设在上单调递增，且为的fourier级数，利用积分第二中值定理，证明：有界.

五、(20分)若，，，且为凸集，即对任意，任意的有，若为定义在上的凸函数，即对任意的，任意的有

<section role="presentation" data-formula="f((1-\lambda) x+\lambda y) \leqslant(1-\lambda) f(x)+\lambda f(y)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

定义

<section role="presentation" data-formula="\phi(t)=\phi(t ; x, y)=f((1-t) x+t y)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

试证：(1) 为上的凸函数充要条件是在上的凸函数；

(2) 在上的一个内点处取最大值，试证：在上的取值为某一常数.

六、(15分) 若函数

<section role="presentation" data-formula="f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}

x(1-y), & x \leqslant y \\

y(1-x), & x>y

\end{array}\right.

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center; overflow: auto; “>

求在上的最大值和最小值.

七、(15分) 设函数

<section role="presentation" data-formula="f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}

\frac{|x|^{a}|y|^{a}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\

0 & (x, y)=(0,0)

\end{array}\right.

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

证明：(1)当且仅当时，在原点连续；

(2) 当且仅当，在原点可微；

八、(10分)若函数是由方程

<section role="presentation" data-formula="x^{3}+y^{3}+x y-1=0

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

所确定，求

<section role="presentation" data-formula="\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 y+x-3}{x^{3}}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

中南大学2021年高等代数真题一、(16分) 设是数域上的一元多项式环的一个子集，且满足

1)， 有 ；

2） 有

证明：存在使得

<section role="presentation" data-formula="m=\{d(x) q(x) \mid q(x) \in p[x]\}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

二、(16分) 设为阶方阵，定义的行列式

<section role="presentation" data-formula="|a|=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau \left(j_{1}, j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j}a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

其中表示数字的全排列的逆序数，证明：

(1)

<section role="presentation" data-formula="

|a|=\displaystyle\sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{n}}(-1)^{\tau \left(i_{1}, i_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{i_{1}1} a_{i_{2}2} \cdots a_{i_{n}n}

” data-formula-type=”inline-equation” style=””>

(2)任何的一个全排列都有

<section role="presentation" data-formula="\left| a\right|=\sum_{k_1k_2\cdots k_n}{\left(-1\right)}^{\tau\left(l_1,l_2\cdots l_n\right)+\tau\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)}a_{l_1k_1}a_{l_2k_2}\cdots a_{l_nk_n}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

三、(16分) 若为一个三阶实矩阵，且第一行为

<section role="presentation" data-formula="b=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & t\end{array}\right)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

且，求方程组的通解.

四、(16分) 设分别为，矩阵，且，试证：存在矩阵使得.

五、(16分) 若为阶实方阵，且满足

(1)；

(2)对 有

<section role="presentation" data-formula="\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|+\sum_{j=1}^{n}\left|a_{j i}\right|<4 a

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

求

<section role="presentation" data-formula="f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) a\left(\begin{array}{c}

x_{1} \\

x_{2} \\

\vdots \\

x_{n}

\end{array}\right)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

的规范型.

六、(16分) 设是维实线性空间的一组基，且

<section role="presentation" data-formula="\varepsilon_{n+1}=-\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\cdots-\varepsilon_{n}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

试证：

(1)对任意，则

<section role="presentation" data-formula="\varepsilon_{1}, \cdots \varepsilon_{i-1},\varepsilon_{i+1}, \cdots \varepsilon_{n+1}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

构成的一组基；

(2)对任意，在(1)中的组基中，存在一组基使得在这组基下坐标都非负.

七、(22分) 若阶实矩阵

<section role="presentation" data-formula="a=\left(\begin{array}{ccccc}

a_{1} & b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\

* & a_{2} & b_{2} & \ddots & \vdots \\

* & * & a_{3} & \ddots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\

* & * & * & \cdots & a_{n}

\end{array}\right)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

有个线性无关的特征向量，且都非零，试证：

(1) 有个互异的特征值；

(2)都是上的线性空间；

(3)若

<section role="presentation" data-formula="v=\left\{\left(\begin{array}{cccc}

d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\

0 & d_{2} & \cdots & \vdots \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & d_{n}

\end{array}\right) \mid d_{1}, d_{2} ,\cdots, d_{n} \in r\right\}

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

则同构.

八、(16分) 若是维线性空间上的线性变换，是上的恒等变换，证明：充要条件是

<section role="presentation" data-formula="\textrm{im}\left(\sigma -\mathscr{e}\right)\oplus\textrm{im}\left(\sigma^2+\sigma

+\mathscr{e}\right)=v

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

九、(16分) 设为实数域上的阶方阵全体构成的线性空间，

<section role="presentation" data-formula="\varphi :m_n\left(\mathbb{r}\right)\rightarrow\mathbb{r}

” data-formula-type=”inline-equation” style=””>

的非零线性映射，满足

<section role="presentation" data-formula="\forall x,y\in m_n\left(\mathbb{r}\right),\varphi\left(xy\right)=\varphi\left(yx\right)

” data-formula-type=”block-equation” style=” text-align: center;overflow: auto; “>

在上定义

<section role="presentation" data-formula="\left(\cdot ,\cdot\right):\left(x,y\right)=\varphi\left(xy\right)

” data-formula-type=”inline-equation” style=””>

.

(1) 是上的内积吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.

(2) 证明：是非退化的，即若，则.

预告：明天我再给大家推送四川大学和武汉大学以及中科大高代吧，有什么问题可以添加我微信mathertex，记住备注来源，要不然可能我忽视就忘了同意，谢谢！

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