同济大学数学系工程数学—线性代数考研真题题库视频网课！

资料全称：同济大学数学系《工程数学—线性代数》（第5版）【教材精讲＋考研真题解析】讲义与视频课程【23小时高清视频】

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全排列

把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.

逆序数

（1）逆序数定义

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.

（2）分类

逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列.

（3）逆序数的计算

行列式与它的转置行列式相等.

对换行列式的两行（列），行列式变号.

如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式.

固若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和.

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.

分类

（1）实矩阵矩阵元素都为实数的矩阵.

（2）复矩阵矩阵元素为复数的矩阵.

（3）行矩阵/列矩阵又称行向量列向量，只有一行（列）的矩阵.

（4）n阶方阵行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵.

（5）零矩阵元素都是零的矩阵.

（6）对角矩阵对角线以外的元素都是0的方阵.（7）单位矩阵对角线上元素都为1的对角矩阵.

同型矩阵与矩阵相等

（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.

（2）两个矩阵A=（a）与B=（b）为同型矩阵，并且对应元素相等，即a；=b，（i=1，2，，m；j=1，2-，n）

则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.

线性相关结论

（1）若向量组A:a1，a2，…，am线性相关，则向量组B:a1，a2，…，am，am+1也线性相关.反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关.

（2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地n+1个n维向量一定线性相关.

（3）设向量组A:a1，a2，…，am线性无关，而向量组B:a1，a2，…，am，b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的.

定义

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1，a2，…，ar，满足（1）向量组Ao:a1，a2.…，a线性无关；

（2）向量组A中任意r+1个向量

（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，则称向量组Ao是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为RA.

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

最大无关组的等价定义

设向量组Ao:a1，a2…，ar是向量组A的一个部分组，且满足：

（1）向量组Ao线性无关；

（2）向量组A的任一向量都能由向量组Ao线性表示，则向量组Ao便是向量组A的一个最大无关组.

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