1、(a)k 1,c 4 .(b) k 1,c(c)k 3,c4 .(d)已知f x在x 0处可导，且f0，则limx 0x2f x 2f x3x3-=()2011年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只需一 个选项契合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.)(1)已知当x 0时，f x3sinx sin3x与cxk是等价无量小，则精品文档23(a)2f 0 .(b)f 0 (c)f 0 (d) 0函数f(x) in(x1)(x2)(x3)的驻点个数为()(a) c)(b) 1(c) 2(d) 3微分方程y2yx

2、ex/e (0)的特解方法为()(a)/ xxa(e e ).(b)ax(e xxe ) (c)x(ae x be x)(d)2/x (aex be x) 设函数f(x), g(x)均有二1阶接连导数，满足f(0)0, g(0)0,且f(0) g(0) 0，(8)设 a (则函数z f (x)g(y)在点(0,0)处获得极小值的一个充分条件是(a)f (0)0,g (0)0.(b)f

(0)0, g (0)0.(c)f (0)0, g (0)0.(d)f (0)0, g (0)0.(6)设104|n sinxdx，j04 ln cotxdx,k4 in cosx dx，则 i , j , k

3、的大0小联络是()(a)i jk (b)ikj (c)ji k (d)k j i (7)设a为3阶矩阵，将a的第2列加到第1列得矩阵:b，再交流b的第2行与第310 01 00行得单位矩阵，记p 11 0,p20 01，则a ()00 10 10(a)rp2 (b)p1p2(c)p2p(d)p2p1 1 4)是4阶矩阵，a*为a的伴随矩阵，若(1,0,1,0)t是方程组13 iax 0的一个基础解系，则 a*x 0的基础解系可为()(a)1,3.(b)(c)(d)二、填空题(914小题，每小题4分，共24 分.请将答案写在答题纸指定方位上.)(9)(10)微分方程xcosx满足条件y(0)0的

4、解为(11)曲线yx0tantdt(0 x )的弧长4(12)设函数f (x)x,x 0,0,x 0,0,则xf (x)dx(13)设平面区域d由直线yx,圆x2y及y轴围成，则二重积分xydd(14)二次型 f(x1,x2,x3)x2 3x；2x1x32x2x3，贝y f的正惯性指数为.三、答复题(1523小题,共 94 分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15)(本题满分10分)已知函数f(x)x0叩t2)dt(16)(本题满分ax11分)，设limxf(x) lim f(x) 0,试求a的取值规模.x 0设函数y y(x)由参数方程丄t331t33

5、13断定，求y y(x)的极值和曲线13,y y(x)的凹凸区间及拐点.(17)(本题满分9分)设函数z f (xy, yg(x)，其间函数f具有二阶接连偏导数，函数g(x)可导且在x 1处获得极值2g(1)1，求x y(18)(本题满分10分)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l : y y(x)与直线x相切于原点，记为曲线i在点(x, y)处切线的倾角，若dx巴，求y(x)的表达式.dx(19)(本题满分10分)(i)证明:对任意的正整数n,1 1 都有丄 ln(1丄) n 1n树立.1(ii)设 an 1 l2(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由x2 1 y2 2y(y 12)与

6、x2(i) 求容器的容积；ln n (n 1,2,l )，证明数列an收敛.中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由y21(y1)联接而成的.(ii) 若将容器内盛满的水沉着器顶部悉数抽出，至少需要做多少功?(长度单位:重力加速度为gm / s2，水的密度为103kg/m3).222cx y 2y11-1o1 1x(1,2,3)t ,3y21图10 , f (x,1)0 , f(x, y)dxdydxyfxy(x, y)dxdy.(21)(本题满分11分)已知函数f (x, y)具有二阶接连偏导数，且f (1,y)其间d (x,y)|0 x 1,0 y 1 ,核算二重积分(22)(本题满分11

7、分)设向量组 1(1,0,1)t, 2(0,1,1)t, 3(1,3,5)t，不能由向量组1 (1,1,1t ,(3,4,a)t线性标明.(i)求a的值;(ii)将1， 2,1， 2,3线性标明.(23)(本题满分11分)(i) 求a的特征值与特征向量;(ii) 求矩阵a .2011年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题答案一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只需一 个选项契合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.)(1)【答案】(c).f屈r卡匚、用出，-3sin x sin 3x 【解析】因为limx 0k exlim 3sin x sinx

8、eos2x eosxsin2xx 0k exsinx 3 eos2x limx 022eos xk ex3 eos2x 2eos2 x limx 0exk 13 2eos2 x 12eos2 xlimx 0k 1 exlim 4x 04eos2 xex4si n2x limx 0 exk 1x3x2f x x2f 0 lim2f x3 2f 03xf x f 0 limx0 2f2f故答案选(b) (3)【答案】(c) 【解析】f(x) ininf(x)匕x 13x212x令 f (x)0，得 x1,2(4)【答案】(c) x3 f 03×111)(x 2)(x 3)in x 33，故f (x

9、)有两个不一样的驻点.3【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为r20,解得特征根r,2所以非齐次方程y有特解yi非齐次方程y有特解y x b e故由微分方程非齐次方程xxe e 可设特解y x(aex be x).(5)【答案】(a) 【解析】由题意有f (x)g(y),-f(x)g(y) y所以,0,0又因为2z2x所以,2zf (0)g(0)(x)g(y),0,0f(0)g (0)0，即f (x)g(y)，0,0点是可以的极值点.2w g (y)f(x)， yx2 血f(0)g(0)，2zb|(0,0)x yf (0) g(0)0,2c -4 l(0,0)f (0) g (0)，y根据题

10、意由0,0为极小值点，可得ac b2 a c 0,且 a f (0) g(0) 0,所以有c f(0) g (0)0.由题意 f (0)0,g(0)0，所以 f (0)0, g (0)0，故选(a).(6)【答案】(b) 【解析】因为0 x 时，4又因in x是单调递加的函数，所以 故正确答案为(b) 【答案】(d) 【解析】因为将 a的第2列加到第sin xinsin即 api b，a br i因为交流即f2bcosx 1 cot x ,x in cos x in cot x 列得矩阵b，故b的第2行和第3行得单位矩阵,e,故 b p21 p2 因而,(8)【答案】(d) 【解析】因为(1,

11、0,1,0)t是方程组 axr(a) 4 13，即 13a(4) o,这阐明p2f1，故选(d) 0的一个基础解系，所以a(1,0,1,0)t 0，且a 0 由此可得a*a | a|e4是a x 0的解.因为 r (a) 3 ,134线性无关.又因为r(a)3，所以r(a*)1，因而a*x 0的基础解系中富含3个线性无关的解向量而2, 3,性无关，且为a*x 0的解，所以4可作为a*x 0的基础解系，故选(d) 二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定方位上.(9)【答案】42 【解析】原式=exim0(t 1)xlim 2_1 ex 0 2xlim 25 2ex

12、 0 2e1ln2v2 (10)【答案】y exsinx .【解析】由通解公式得dx(excosx edxdx c)因为(11)所以(12)y(0)0,故 c=0 .所以【解析】选择x为参数,x( cosxdx c)x(sinx c).y e xsin x .则弧微元ds &ys 04 secxdx ln secx【答案】【解析】原式xdx(13)【答案】【解析】原式(14)【答案】【解析】办法xxelimx12jd42 sin44sin662.1:二次型f对应矩阵为2sincos42dxtan2 xdx secxdxtanxio4 ln(1 72) xdxlimxr cosxde xlimx

13、1ee0r sinrdr2 r cos7sin2sinr3dr1 16sin4122 4cos sin5 d42 sin5 dsin4的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数.故 10, 21, 34 .因而f的正惯性指数为2 办法2:f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数.xi,x2,x32x13x22x32x22x1x32x2x32222 2x1x2x3x22x2x3x3 3×2 x32-2x1x2x32x2,2x2x3y1令y2x2,y3x3,x2x3,则f2y；，故f的正惯性指数为2.(1523小题,字阐明、证明进程或演算进程.(15)(本题满分三、答复题10分)94分.请将答复写在

14、答题纸指定方位匕回容许写出文【解析】假定alimx0ln(1t2)dtlimx0ln(1t2)dt1 1 100 01311311321 1 11 1 11 1 2显着与已知敌对, 当lim -x 0x2ln(1 t2)dtlimx 0ln(1×2)axa 1limx 02xa 1axlim -x 0 a所以3又因为x2ln(1 t2)dtlimxln(1 x2)a 1ax2x1 x2a 2limx a(a 1)xa(a 1)xim 13 ax2x所以3(16)(【解析】2，即 a 1 , 本题满分11分)dy 因为y (x) 址dx dt归纳得1 a 3.t2 1t2 1y (x)层)1dt

15、2t(t2 1) (t2 1) 2t4t令y(x) 0得t1时，x(x)0 得 t10时，x 一，此时3所以曲线的凸区间为(17)(本题满分9分)【解析】zf xy,yg(x)f1 xy, yg(x)dxd?(t21)2此时此时0 ；当t，凹区间为所以所以y f2 xy, yg(x)1为极小值.31为极大值.1 1，拐点为(-,-).3 3yg (x)f1 xy,yg(x)y f11(xy, yg(x)x fxy, yg(x)g(x)g (x) f2 xy,yg(x) yg (x) fxy, yg(x) x f22xy, yg(x)g(x).因为g(x)在x 1可导，且为极值 所以g (1)0

16、,则f1(1,1) f11(1,1) f12(1,1).吐idxdy y 1 (18)(本题满分10分)【解析】由题意可知当 x 0时，y 0,y(0)1，由导数的几许意义得y tan即arcta n y，由题意-d-dxarctan ydydx，即y p，则dx ,即dp pdppdx,ln|p|如(p2 1)2x c1，即1ce 2x 11，代入得c 2,所以 y则 y(x)y(0)x dt0 屁e2t1x edtarcsin |0x.earcsin-=72 4又因为y(0)0,所以y(x)arcsin 亚 ex(19)(本题满分10分)【解析】(i )设 f x in 1显着f(x)在1

17、0,丄 上满足拉格朗日的条件, n所以结论得证.in 11 in1nin0,1n时,(ii )设an先证数列anan 1an亦即:in即:in单调递减.in使用(i )的结论可以得到inininin(11-)，所以nin0得到anan，即数列an单调递减.再证数列 an有下界.anin nnin1in n ,nink 1inin4l3in n 1 ,anin nink 1in ninin n 0 -得到数列an有下界.使用单调递减数列且有下界得到an收敛.(20)(【解析】本题满分11分)(i)容器的容积即旋转体体积分为两有些vv1v22yy2 dy1 y2 dy3 y_3(ii) 所做的功为

18、dwg(2y)(1y2)dyg(2y)(2y y2)dy1左 y)(1 y)dy1:(y32y22)dy24y 4y)dy2 2y1 (2y)(2 y y )dy22222y1212y24y322y 2131214131g222124 y427 103 f g3375g.(21)(本题满分11分)【解析】因为f(x,1)0，f(1,y)0,所以 fx(x,1)1i xdx01xdx010yfxy(x, y)dyyfx x, y io1xdx010 fx(x, y)dy10dy11xdx ydfx(x, y)00xx x, y dy10dy1f(1,y)0f(x,y)dx（22）（本题满分11分

19、）【解析】(i)因为1, 2,3不能由等行改换:3)当a 5时,r(1,3不能由(ii)对(1,2,（23）（本题满分11110xdx fx(x,1)0 fx(x,y)dy1110xfx(x, y)dx0dy xf (x, y) i0f(x, y)dxdydf(x,y)dx3线性标明,3 ）进行初31a 3i 03丨11 iia 5 i3)2,1,r (1,2,3,3线性标明.1)此时,1不能由2,3线性标明,101 i 1113013 i 1124115i 135101 1113101 1113013i 11240131124014 ； 0220011102100! 211501041210

20、0011 1023 ,212 2,35 110 223.3)4 22, 3）进行初等行改换:【解析】(i)因为a 00 ，设1 1,0,t1,0,1 ，则1, 2 ，即 a2，而10,知a的特征值为1 1, 2对应的特征向量别离为0 ,k22k2因为r2，故a 0，所以因为a是三阶实对称矩阵，故不一样特征值对应的特征向量彼此正交，设30对应的特征向量为 3tx1, x2,x3t1t20,即 x1x3 0,0,x1x3 0.解此方程组，得t0,1,0，故0对应的特征向量为k33 k3(ii)因为不一样特征值对应的特征向量现已正交，只需单位化:1 1 1,0,1t3，则 qt aqa q qt运运2200血7222逅42220072丘222返201,0,12返202亞20t0,1,02返201a为三阶实对称矩阵，a的秩为2，即r a 2，且a 01lim x 0exk 3所以c 4,k3，故答案选【答案】(b).x2f x 2f 【解析】limx 0