1、2012年考研数学三真题一、选择题(1、8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)_x2 + x(1)曲线v =匚渐近线的条数为(a)0(b) 1(c)2(d)3【答案】co【解析】.x2 + xx2 + xlim y = hm =1 = am y = um 由t+8+ 8% t- 00xt-8% -1,得y= i是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；八%lim y = lim-= -1 得x = l是曲线的一条垂直渐近线；x2 +x 1lim y = lim -3-=5由1 2得*=1不是曲线的渐近线；综上所

2、述，本题正确答案是c【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸、拐点及 渐近线(2)设函数/(幻=(2-1)(。2*-2)(。"-九)，其中几为正整数，则 /(0)=(a)(-l)n-1(n-l)!(b) (-l)n(n-l)!(c)(t尸!【答案】a(d) (-w)!【解析】【方法1】令g(%)=仁2 j 2)(e71 j0则f(x) = (e”l)g。)/(x) = exg(x) + (ex-l)g%)/-(

3、/-l)(e2x-2).<e，,z-n)/(0)= hm = limzx-)

4、连续，则二次积分jjd6jl>sj(#)rdr =(a)三旧+力(/+ 丫之协存/忌(f + ym(c)沁/你寸匹？/(/ + y2)dx(d),沁后+丫?)"【答案】b。【解析】令x = rcos e,y = rsin。，则r = 2所对应的直角坐标方程为22x +y = 4 r = 2cos 6所对应的直角坐标方程为(x-l)2 + y2 – 1。n由/。整理j()rdr的积分区域tt2cos 0<r<2,o<6<-乙得在直角坐标下的表示为2x – x2 <y < x/4 -x2t 0 <x <2所以wd叱csjd

5、)rdr = /沁/饪汉小+、29综上所述，本题正确答案是(b)。【考点】高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数2yoo (-1)”由级数j = 1产条件收敛，知av2综上所述，本题正确答案是(d)【考点】高等数学一无穷级数一数项级数敛散性的判定roi0ci.roi1c2.州二1-1

6、c3，% 二r- 111c/,其中入2,c，4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(a) aia3 a4【答案】co【解析】九个九维向量相关=1%您2,a=001- 1= o -1 1显然134所以猿1，4，%必线性相关综上所述，本题正确答案是(c)。【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关和线性无关1 0 01 p-14p = 0 1 0(6)设4为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且 0 0 2若p = (%/，%)4 =(% + 电0。3)则q 一，q 二0 0 2o 1 o r2o o,【答案】bo【解析】 0010 0 2

7、0 2 00102 0 0100 – – j 由于p经列变换(把第2列加至第1歹u)为q,01 01那么q % v :且都服从区间(&#

8、176;，i)上的均匀分布,(8) 2 7t (d) 4f(xty)dxdy1<%< l,0<y < 1,0,其他0<><1上等于常数1,其余地方均为0,实际上就是单位圆f + y2 4在第一象限 的面积。综上所述，本题正确答案是d。【考点】概率论与数理统计一多维随机变量的分布一二维随机变量分布(8)设出2丛3冰4为来自总体n(l,/)g > 0)的简单随机样本，则 占“2统计量团+/-2|的分布为(a)n(0,l)(b)t(l)(c)z2(i)(d)f(i,d【答案】bo【解析】x – x21, xx2、n（0,2。）故噎/n（o,1）；2,

9、x3 + x4.2、n（0,2。）故三/n（o,1）,3 + x.z 2_ m + x,/ 飞。）-=xa-x2 x3 + x4 – 2 23, *1>2与4 + 乂厂2相互独立。彳与（ 飒）也相互独立,卜 3 r4-2| 所以x1-x210/21综上所述，本题正确答案是b。【考点】概率论与数理统计一数理统计的概念 二、填空题（9、14小题，每小题4分，共24分。）um （tanx）co5x-sinx =（9）此o【答案】e y。【解析】这是一个1巴 型极限，由于1 1/.xcosx- sinx4 . z. 、】cos% sin（tan x）= 11 + （s九 % – 1）

10、|1=um=" /2ncos xx4tanx – 1tan x- 1lim； = um71cos x – sin x ncos x（l – tanx）x-x-*44um (tanxyo5x-sinx =所以【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限f(x) = ( 1 九%尺 之 11(10)设函数%<1)=/(/。)狈产1 = 0 1【答案】%【解析】y = /(/(%)可看做丫 = /3),与比=/(%)的复合，当 = 时 1 1u = /(e) = ine = -ine =- 乙乙由复合函数求导法则知【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念1.

11、f(x,y)-2x + y-2lim -/ 21=0u, 、%1。4x +(y-dc7(11)设连续函数z = /3y)满足yti，则叼(0,1)一【答案】2dx-dy【解析】.fx,y)-2x + y-2lim > ?= = 0d jxz + (y-ir由尸1,且z = /qy)连续，可得/(o,1) = 1,且/(x,y)-mi) = 2x-(y-i)+。(& +。_1)2),(江1)由可微的定义得f40)=2/(0,1)=-1,即dzl(o,i)= f 式0,1)公 + f y(o,l)dy = 2dx – dy【考点】高等数学一多元函数的微分学一多元函数偏导数的概念与计算

12、4(12)由曲线y =和直线y = x及y =轨在第一象限中围成的平面图形的面积为 o【答案】4仇2【解析】_ 4曲线丫 =或和直线y = x及y = 4%在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(13)设4为3阶矩阵，ml = 3, 4*为4的伴随矩阵。若交换4的第1行与第2行得到矩阵/则忸t,则忸屋 i = |b| – |4*| = – aa2 = -27【方法2】根据题意0 1 011 0 0 4

13、 = b10 0 1j ,即3 =吗24那么b4二= 1川鸟2二3/2从而“i = |3%1 = 33|f12| = -27【考点】线性代数一行列式一行列式的概念和基本性质线性代数一矩阵一伴随矩阵，矩阵的初等变换(14)设4bc是随机事件，4c互不相容，p(48) =/(c)=:则pcab | c) =。3【答案】4【解析】4c互不相容，自然有当然更有所以1pq4bg p(ab) 2 3(如=巧3【考点】概率论与数理统计一随机事件和概率一事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题:1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x2 2-e – elim4（15）

14、求极限一。、【解析】【方法1】x2 2 – 2 cos x2x – 2 + 2cos x 1e – e limi.2 – 2cos x y. e- 1=lim e limxt。xx->0sox2 % – 2 + 2cos x-lim4s。“(等价无穷小

代换)2x – 2sin x=lim?so 4x(洛必达法则)1 211 – cos x 12×1-olim ? – /im ?z 八 a/6 c /12%to 5x%t0 x【方法2】x2 2 – 2 cos x2x – 2 + 2cos x 1e – e limi.2 – 2cos x y. e- 1=lim e limxt。xx-&g

15、t;0sox2x -2 + 2cosx-lim4s。 “（等价无穷小代换）24/-2 + 2(1-复+不 +。(/)-lim4sox（泰勒公式）1 44谈 + 。(% ) i-l1m4-12d/12【方法3】_ / 2 o n 、e -ee (% – 2 + 2 cos %)（拉格朗日中值定理）lim4二 lim%->0 x%t0x2x -2 + 2cosx二 lim4so 欠2x – 2sin x-lim-so 钛1 31 ,广=him2a>0 %1=12（洛必达法则）1 3-sinx-rx、6 )22 / 21【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，

16、极限的四则运算高等数学一一元函数微分学一微分中值定理，洛必达（l e”(l – x2)dx=iex(l – x2) + fxexdx乙o u1 . xi1 fl x j=-2+xe l0-j0e dx1【考点】高等数学一积分法与分部积分法一 2元函数积分学一不定积分和定积分的换元高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、基本性质和计算(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为1000

17、0(万元)。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是%(件)和y (件)，x且这两种产品的边际成本分别为2y) = 10000 + 20x + x+6y + ?(万元)(ii)由题意知，求c(居y)在x + y = 50时的最小值，构造拉格朗日函数f(xfy,x) 22xy=c(x,y +

18、 a(x + y – 50)= 10000 + 20% 4- – + 6y + 4- a 4z(x + y – 50)x尸=20 + + ；1=0,f:=6 + y + ；l = 0,解方程组50) = 0.得=24,y = 26.因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用242262cm.n(x,y) = 10000 4-20x 24 + -+6x 26 + = 11118(万元)rx(hi)甲产品的边际成本函数:c + ?,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际

19、成本,24c (x,y) = 20 + – = 32乙其经济意义为:当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加32万元。1 + xx(18)证明:xln- + cos x> 1 +1 < x < 1) jl – x/ 、0, 从而r。)

20、单调增加。又因为/(xe0fl).1 4- % 2xf (%) = in-1 – sinx -x,x e 0,1)由于lr 1-x21 4-

21、 %2xin-> 0 > 2x = x + x > x + sin x-1-x2从而有/(x)>)&q

22、uot;的拐点。【解析】7 (x) +/(x)-2/(x) = 0,(i)联立,，(乃 + f(x)= 2。,得f(x)-3/q) =-2e:因此fx) = e j "(j – 2e% – j " + c) = e" + ce3x99yy代入/ (x) + f(x) = 2e ,得c = 0,所以/(%) = e22(h)y =(一 = 0"净-“0

23、,又火。)=0,所以曲线的拐 点为(0，o)【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数 和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20)设rla0()101a0-1001ab =0a1001101a计算行列式51；(h)当实数a为何值时，方程组4尤=0有无穷多解，并求其通解。【解析】(i)按第一列展开ml11- o0a+ q( 1严1 1(h)当。时，方程组43 0有无穷多解，由上可知y1或如果a= 11 o o o-1-1io-1io o 1 1o 1 1 o1 1 0-11 o o o( tl-lo oo o 1 1o 1 1 au1 1 o o1

24、o o 110 0 11110-10 1100 11-21 00 01 01 10 10 0 r= 3,r(z) = 4,方程组无解，舍去当= – 1时,1 -10100000-11-100-11-100l-lo o o o-1o o-ll o1x-1 o o 1 o o o1-1001,1-1001101-10-101-10-1001-10->001-10->-10010101-10111r(4) = 3 = r(a方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程组通解为tt(0, -1,0,0) + 依 1,1,1,1) 4为任意常数【考点】线性代数一线性方程组一线性方程组有解和无解的判

25、定,非齐次线性方程组的通解101, oila= -1 0at t（21）已知i –

26、4%卜二。,可得到属于；11二2的一个1 、t单位特征向量标（l1厂1）则/在正交变换* = qy下的标准形为【考点】线性代数一矩阵一矩阵的特征值和特征向量的概念、性线性代数一二次型一二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形（22）设二维离散型随机变量（x,y）的概率分布为012010

27、144i010321011212求 px = 2v；(h)求 cou(x-y,y)【解析】(i)px = 2y = px = o,y = o + px = 2,y = i = ；+o = ；(n)由(xy)的概率分布可得11 11 1px = 0-+4一二一 42 71 1pxy = 0 = ； pxy = 1 = ； pxy = 4=x zuo工乙所以11

28、1 2ex = 0- -+1* +2*7 = ，36 31"=%r = 3 + 3 = 3所以3 2 22cov(x – y,r)= exy – ex – ey – dy =- j j jj【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设随机变量xv相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记u = max xxy = mtn x,yt(i)求v的概率密度g(”)；(h)求 e(u + v

29、).【解析】(i)fv(v) = pv <v = pmin x,y <v = l- pmin xfy < v = l-px>vfy>v = l- px > vpy > v =1 – evev = 1 – e 2v,v > 0f(v = f2e_2v, v>0当"0时，3) = 0, /八，i 0, v<0(ide(u + p) = e(x + y) = ex + ey = 1 + 1 = 2【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质