1、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题设生产函数为qalk,其中q是产出量，l是劳动投入量，k是资本投入量，而a,a陶为大于零的参数，则当q=1时k关于l的弹性为某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以w表示第t年的工资总额(单位:百万元)，则w满足的差分方程是设矩阵且秩(a)=3,则k=(4)设随机变量x,y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式px-y|6.设总体x服从正态分布n(0,0.22),而x1,x2，x15是来自总体x的简单随机样本，贝y随机变量服从分布，参数为二、选择题(1)设函数f(x)的导数在x

2、=a处连续，又则()(a) x=a是f(x)的极小值点.(b) x=a是f(x)的极大值点.(c) (a，f(a)是曲线y=f(x)的拐点(d) x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点12-(x21)，0x1x2设函数g(x)f(u)du，其中f(x)2，则g(x)在区间(0,2)内()01-(x1)，1×23(a)无界(b)递减(c)不连续(d)连续a11a12a13a14a14a13a12a110001a21a22a23a24，ba24a23a22a210100设a，p0010a31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44a44a4

3、3a42a411000其中a可逆，则b1等于()1111(a)app2(b)pap2(c)pp2a(d)p2ap.设a是n阶矩阵，c是n维列向量若秩秩(a)，则线性方程组()(a)ax=c必有无穷多解(b)ax=a必有惟一解.(5)将一枚硬币重复掷n次，以x禾口丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则x禾口丫的相关系数等于()1(a)-1(b)0(c)二(d)12三、(本题满分5分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定exyxy2和求dudx四、(本题满分6分)xcx已知f(x)在(-x，+网可导，且limf(x)e,lim()limf(x

4、)f(x1),求c的值.xxxcx五、(本题满分6分)求二重积分的值，其中d是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面区域六、(本题满分7分)已知抛物线ypx2qx(其中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为s.(1)问p和口q为何值时，s达到最大？求出此最大值.七、(本题满分6分)11x设f(x)在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)k03xef(x)dx,(k1).证明:存在氏(0,1),使得f()2(11)f().八、(本题满分7分)已知fn(x)满足fn(x)fn(x)xn1ex(n为正整数)且求函数项级数之和.九、(本题满分9分

5、)11a1设矩阵a1a1,1.已知线性方程组ax=荫解但不唯一，试求a112(1)a的值；正交矩阵q,使qtaq为对角矩阵十、(本题满分8分)设a为n阶实对称矩阵，秩(a)=n,4是aa,nn中元素的代数余子式(i,jnna=1,2,n)，二次型f(xi,x2,xn)jxixj.i1j1anna，(1) 记a(为公2，xn),把f(x|,x2，xn)xix,.写成矩阵形式，并证明二次i1j1a型f(x)的矩阵为a1;(2) 二次型g(x)xtax与f(x)的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克.若用

6、最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977.(2)=0.977其中x)是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量x和y对联和分布是正方形g=(x,y)|13,1茫上的均匀分布，试求随机变量u=x-y的概率密度p(u).2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】一【使用概念】设yfx在x处可导，且fx0,则函数y关于x的弹性在x处的值为eyexxx上yfxyfx【详解】由q性为:1alk，当q1时，即alk1，有kal,于是k关于l的弹ekelial【答案】1.2wti2【详解】wt表示第

7、t年的工资总额，则wt1表示第t1年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得w满足的差分方程是:wt(120)w(121.2w(12【答案】-3【详解】方法1:由初等变换（既可作初等行变换，也可作初等列变换）.不改变矩阵的秩，故对a进行初等变换k32,3,4列分别加到1列00k32,3,4列分别加到1列001k10010k1010011行（1）分别加到2,3,4行k1k1k1k1k1002,3,4列分别加到1列k3000可见只有当k=-3时，r（a）=3.

故k=-3.方法2:由题设r（a）=3,故应有四阶矩阵行列式111k1000k1000k

8、11100(k3)(k1)30,k100k1a0.由1行（1）分别加到2,3,4行解得k=1或k=-3.当k=1时,1行(1)分别加到2,3,4行可知，此时r(a)=1,不符合题意,因此一定有k=-3.【答案】12【所用概念性质】切比雪夫不等式为:pxe(x)d(x)2期望和方差的性质:e(xy)exey；d(xy)dx2cov(x,y)dy【详解】把xy看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差e(xy)e(xy)exey220又相关系数的定义:cov(x,y)(x,y)dx；dy(0.5)14d(xy)dx2cov(x,y)dy1(1)4所以由切比雪夫不等式:【答案】【所用概念】1.6

9、pxye(xy)(10,5)f分布的定义:其中x2(n1)d(x2y)3136122(压)2【详解】因为xin(0,2)i1,2,15，将其标准化有，从而根据卡方分布的定义2×10.2(10),x；1222xis22(5),由样本的独立性可知，与相互独立故，根据f分布的定义xi2x10210xi22xii22x；xlxif(10,5).故丫服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的f分布.二、选择题(1)【答案】b【详解】方法1:由知limf(x)limf(x)limxaxaxaxaxa又函数f(x)的导数在xa处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f(a

10、)0，于是有f(a)f(a)limf(x)xaf(a)alimdxaxa1,即f(a)0，f(a)10，根据判定极值的第二充分条件:设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(冷)0，f(x。)0，当f(x。)0时，函数f(x)在处取得极大值.知xa是f(x)的极大值点，因此，正确选项为(b).方法2:由及极限保号性定理:如果limfxa，且a0(或a0)，那么存在常数xxq使得当0xx0时，有fx0(或fx0)，知存在xa的去心邻域，在此去心邻域内.于是推知，在此去心邻域内当xa时f(x)0；当xa时f(x)0.又由条件知f(x)在xa处连续，由判定极值的第一充分条件:设函数f(x)在x。处连续

11、，且在x。的某去心领域内可导，若xx0,x0时，f(x)0，而xxo,xo时，f(x)0,则f(x)在x。处取得极大值，知f(a)为f(x)的极大值.因此，选(b).【答案】(d)【详解】应先写出g(x)的表达式.当0x1时，有g(x)0fudu当1×2时，有x1x1丄(02xl(u1)du13即因为且1311112x1x-uun-u-u60206131131-x_x,0x1/、62g(x)212x11x236131limg(x)limxxx1x1622-，limg(x)212limx1x136g(1)g(x)0f(u)du0f(u)du1f(u)du同样，可以验证(a)、(b)不正确，0x1

12、时,g(x)13x1x121x-0，单6222调增，所以(b)递减错；同理可以验证当1×2时,g(x)21x121x10，363单调增，所以g0gxg2，即与选项(a)无界矛盾所以由函数连续的定义，知g(x)在点x1处连续，所以g(x)在区间0,2内连续，选(d).(3)【答案】(c)【详解】由所给矩阵代b观察，将a的2,3列互换，再将a的1,4列互换，可得b.根据初等矩阵变换的性质，知将a的2,3列互换相当于在矩阵a的右侧乘以e23，将a的1,4列互换相当于在矩阵a的右侧乘以e14，即ae23e14b，其中，由题设条件知re14,f2e23，因此baf2r.由于对初等矩阵ej有，ej1ej，

13、故r1r,r/r.因此，由baf2r，及逆矩阵的运算规律，有111111bap2rrp2arp2a【答案】(d)【详解】由题设，a是n阶矩阵，是n维列向量，即t是一维行向量，可知是n1阶矩阵显然有秩秩(a)nn1,即系数矩阵非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件:系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组必有非零解【答案】a【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以xyn,从而ynx，故dyd(nx)dx由方差的定义:dxex22(ex)，所以dyd(nx)e(n22x)e(nx)e(n22nxx2)(nex)2n22nexex2n22nex(ex)2ex2(ex)2dx)由协方差的

14、性质:cov(x,c)0(c为常数)；cov(ax,by)abcov(x,y)cov(x,x2,y)cov(xy)cov(x2,y)所以cov(x,y)cov(x,nx)cov(x,n)cov(x,x)0dxdx由相关系数的定义，得(xy)c吵,y)dx，-dx.dy.dxdxf(x)三【变限积分求导公式】g(t)dtxgf(x)f(x)a【详解】根据复合函数求导公式，有dudxdudxfjyydxfdzzdx(*)在exyxy2两边分别对x求导，得xye(yxxye(yx(yx)0,dxxz将其代入(*)式，得即在两边分别对x求导，得乎),即dx乎),即dxex目口(1dudxdudxfy丄

15、1e(xz)fxxysin(xz)z(利用对数性质inf(x)g(x)g(x)lnf(x)四【详解】因为(把xc写成xc2c)xc2cx(把x写成tfxc)2cxlim(12c匸讥)2c(利用幕函数的性质amn(am)n)xxc(利用对数性质elnf(x)f(x)f()limf(x)(利用yex函数的连续性，lime(xex)x(当各部分极限均存在时，limf(x)g(x)limf(x)limg(x)(利用ylnx函数的连续性，limlnf(x)lnlimf(x)e2clne(利用)e2c(lne1)又因为f(x)在,内可导，故在闭区间x1,x上连续，在开区间(x1,x)内可导，那么又由拉格朗

16、日中值定理，有f(x)f(x1)f()x(x1)f(),x1x左右两边同时求极限，于是mhxmhxxmf(x)因为x1x，x趋于无穷大时,也趋向于无穷大由题意,lim(u)xlimf(x)f(xxxcx1),从而2ce五【详解】积分区域如图所示,可以写成y1,yx1y1d1(x2y2)xe2dxdyydxdyddxye如dxdy,其中,ydxdyd11dyydx11y(1y)dy六【详解】11ydy1e1(x2yy2)1d(2×2)ydy1丄农e2yy2)12d尹y2)ae1(11y1y2)y2)dy211(1e21y2)dy21eydy21d2(1y2)2eydy202(x2y2)xe2dx

17、dyq)0,求得它与x轴交点的横坐标为:方法1:px2qxx(px根据定积分的定义，面积q2soppxqxdx卫x33qx22因直线xy5与抛物线y2px求其公共解，消去y，得px2(q程只有唯一解，故其判别式必为零，即(q1)24p(5)36?王:)qx相切，故它们有唯一公共点1)x50，因为其公共解唯一,由方程组则该一元二次方(q1)220p0,解得将p代入s中，得s(q)根据函数除法的求导公式,3443s(q)(200q)3(q1)3(q1)(200q)3(q1)42根据驻点的定义，令s(q)0,已知有q0,得唯一驻点q3.当1q3时，s(q)0；q3时，s(q)0.故根据极值判定的第一

18、充分条件知，q3时，s(q)取唯一极大值，即最大值从而最大值为方法2:设抛物线ypx2qx与直线xy5相切的切点坐标为(x,y)，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有y0px2qx0和x。乂5.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的,即一阶导数值相等在ypx2qx左右两边关于x求导，得y2pxq，在x5左右两边关于x求导，得y1，把切点坐标(x0,y0)代入，得2px0由x)y5y5x0，将两结果代入y。pxoqx0得y5x5字)px:qx2pp(詁q(鴛)整理得将p代入s中，得根据函数除法的求导公式,s(q)s(q)(200q3)3(q1)43(q1)4(200q3)3(q1)42根

19、据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令s(q)0,已知有q0,得唯一驻点q3当1q3时，s(q)0;q3时，s(q)0;故根据极值判定的第一充分条件知，q3时，s(q)取唯一极大值，即最大值从而最大值为七【详解】将要证的等式中的换成x，移项，并命x1(x)f(x)f(x)x问题转化为证在区间(0,1)内(x)存在零点.将看成一个微分方程，用分离变量法求解由两边积分得df(x)f(x)x11dx(1-)dxxx利用及，得lnf(x)xin:xc1即xexf(x)c,命f(x)xexf(x).由f(1)k1jxe1xf(x)dx,(k1)及积分中值定理(如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则

20、在积分区间a,b上至少存在一个b点，使得f(x)dxf()(ba)(ab)，知至少存在一点，使a11x1f(1)k0kxef(x)dxef()且f()ef()，f(1)e1f(1).把f(1)e1f()代入，则111f(1)ef(1)eef()ef()f()那么f(x)在,1上连续，在(，1)内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)0,1j使得f()ef()ef()01即f()(1)f().八【详解】由已知条件可见fn(x)fn(x)xn1ex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性1f(x)p(xe)dx(q(x)ep(x)dxdxc)得其通解为fn(x)dxn1xdx-xxnexeed

21、xcecn由条件又，得c0，故nxnfn(x)xexexn1n1nn1n记则，limflim斗1，则其收敛半径为，收敛区间为(1,1).当x(1,1)n|可|n1ns(x)，其中丄1x1x1xx2xxf(x)dxf(x)c,得os(x)dxs(x)0s(x)s(0)0n2002又由于s(0)*0，所以n1n12xx1s(x)s(0)0s(x)dx0dxln(1x)，01x故根据函数积分和求导的关系n时，根据幕级数的性质，可以逐项求导，x即有ln(1x),x(1,1)n1n1时，级数在此点处收敛,1时，级数在此点处收敛,而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到处，即nxln(1x),x1,1)n1

22、n于是fn(x)exln(1x),x1,1)n1有解但不唯一，即有无穷多解有解但不唯一，即有无穷多解r(a)r(a)n3，九【详解】(1)线性方程组ax将增广矩阵作初等行变换，得01a1a3时,11,2行互换”2j2a11a:12行加到3行0a11a:000(a1)(a2)丨(a2)因为方程组ax有解但不唯一，所以r(a)r(a)3，故a=-2.(2)由(1)，有由11212ea1212,3列加到1列2121111111a2行1行,行1行(a)倍010a:a1故a的特征值为1故a的特征值为10,23,3.112112提出1列公因子1211行(1)分别加到2,3行0331110030(3)(3)

23、10时,(0e(0ea)1行的(1),2倍分别加到2,3行2行加到3行于是得方程组(0ea)x0的同解方程组为可见，r(0ea)2，可知基础解系的个数为nr(0ea)321，故有1个自由未知量，选x2为自由未知量，取1，解得对应的特征向量为3ea151153行-2行2121行2加到2行090000000151153行-2行2121行2加到2行090000000a)x0的同解方程组为于是得方程组(3e可见，r(3ea)nr(3ea)321，故有1个自由未知1,解得对应的特征向量为212111111,2行互换41214214111110362行加到3行03036000的同解方程组为2,可知基础解系

24、的个数为量，选xi为自由未知量，取当i3时，43ea121行(4)倍,2倍分别加到2,3行于是得方程组(3ea)x(1,0,1)t.160可见，r(3ea)2，可知基础解系的个数为nr(3ea)321，故有1个自由未知量，选x2为自由未知量，取x22，解得对应的特征向量为3(1,2,1)t.由于a是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将3单位化,_1113其中，113_丄2:6112-1212、3,3(1)222(1)2.6131313162616则有qtaqq1aq十【详解】（1）由题设条件,najxjxjj1|a|ij1ainajxixjj

25、1xinajxjj1k(aixia2x2anxn)xixi(aii，a?,，an)x2xi(ai1,a2，an)x2xnxnx11治冶仆a2,an)ax2(a21,a2,，a?.)xn(am,an2,ann)x2xna1a12a1n1a21a22a2n;(旨卞2，xn)ax1x1x2ana2annxnt区兀，召）ax2xn()xta1x其中（）的理由:a是可逆的实对称矩阵，故1tt11（a）（a）a,因此由实对称的定义知，a1也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质aaae，知aaa1，因此a也t是实对称矩阵，aa，故（）成立.t1（2）因为a1aa1atea1，所以由合同的定义知a与a1合同由实对

26、称矩阵a与b合同的充要条件:二次型xtax与xtbx有相同的正、负惯性指数可知，g(x)xtax与f(x)有相同的正、负惯性指数,故它们有相同的规范形【应用定理】(i)期望的性质:e(xy)exey;独立随机变量方差的性质:若随机变量x和y独立，则d(xy)dxdy存在，记u与2(02(ii)列维-林德伯格中心极限定理:设随机变量x,x2，xn,相互独立同分布，方差)分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x，恒有limp1(xinu)x(x)n?ni1(通俗的说:独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii)正态分布标准化:若z

27、n(u,2)，则【详解】设xi(i1,2,n)是装运的第i箱的重量(单位:千克)，n是所求箱数由题设可以snx1x2xn是独立snx1x2xn是独立将x,xi,xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量同分布随机变量之和由题设，有e(xi)50d(xj5(单位:千克)所以e(sn)e(x,x2xn)ex,ex2exn50nd(sn)d(x,x2xn)dx,dx2dxn25n则根据列维一林德柏格中心极限定理，知sn近似服从正态分布n(50n,25n)，箱数n根据下述条件确定p&5000p5_50门5jnp&5000p5_50门5jn5000_50n5n(将sn标准化)(1000w0n)0.97

28、7由此得从而n98.0199，即最多可以装98箱.则x和y的联合密度为:f(x,y)4,1x站0,其他3,（二维均匀分布的概率密度为）由分布函数的定义:f（u）p(1)当u0时，f(u)0（因为丫是非负的,所以小于0是不可能事件(2)当u2时，f(u)1（因为x和y最大为3，x和y最小为1，所以x丫最大也就只能为2,所以xy2是必然事件，概率为1）当0u2时,f(u)puu相当于阴影部分所占的概率大小.如图所示:f(u)pus阴影面积s总面积4(2u)2（二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积）于是随机变量u的概率密度为:p(u)f(u)1-(2u),0u2,0,其他1