1、12014 硕士研究生入学考试数学一、选择题 1 8 小题每题 4 分，共 32 分.1以下曲线有渐近线的是ay xsin x b2y xsin x121cy x sindyx2sinxx2设函数f (x)具有二阶导数,g(x)f(0)(1x) f (1)x，则在0,1上a 丨当f(x)0时，f (x)g(x)b当f(x)0时，f(x) g(x)c当f (x)0时，f (x)g(x)d当f (x)0时，f (x) g(x)11 y3.设f(x)是连续函数，则dy2f(x,y)dy1x 10力1 x2a0dx0f (x,y)dy1dxof(x,y)dy11 x100b0dx0f (x,y)dy1

2、dxf(x,y)dy0011 x21 1c02d；os sinf (r cos , rsin )dr d；os sinf (r cos ,r sin )dr1 1dd0cos0sinf (r cos,rsin)rdrd2cos0sinf (r cos , r sin )rdr4假设函数(xa1cosx dsin x)2dxmina,b r(x a cosxbsinx)2dx，贝卩 aeosx dsinxa2sinxb2 cosxc2 sin xd2 cosx0 a b05行列式a 0 0b等于 0 c d0c 0 0da(adbc)2b(ad bc)2c2 2 2 2a d b c厂 f r2

3、222d a d b c性无关的7 .设事件 a，b 想到独立,a0.1 b0.26设1,2,3是三维向量，则对任意的常数2l3线性无关是向量1,2,3线a 丨必要而非充分条件b充分而非必要条件c 充分必要条件d非充分非必要条件p(b) 0.5, p(a b)c0.30.3 贝 u p(b a)2&设连续型随机变量 x1,x2相互独立，且方差均存在，x1,x2的概率密度分别为 fx), f2(x),随机变量丫!的概率密度为 f (y) l(fi(y) f2(y)，随机变量丫21(x1x2)，则22aey1ey2,dy1dy2 bey!ey2,dy!dy2cey!ey2, dy!dy2d

4、e eyqdy!dy?、填空题此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分.把答案填在题中横线上9.曲面z x2(1 sin y) y2(1sin x)在点(1,0,1)处的切平面方程为10.设 f(x)为周期为 4 的可导奇函数，且 f(x) 2( x 1),x0,2，贝 yf (7)11.微分方程xy y(ln x ln y) 0满足y(1) e17.此题总分值 10 分的解为12 .设l是柱面 x2y21 和平面y z 0 的交线,从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分13.设二次型 f(xi,x2,x3)x；2x22axix34x2x3的负惯性指数是 1，则a的取值范围是1

5、4.设总体 x 的概率密度为f(x,2x)尹，0,其它2，其中是未知参数,x1,x2, ,xn是来自总体的简单样本，假设nc xj2是2的无偏估计，则常数i 1三、解答题15.此题总分值10 分1x求极限lim丄xx2l n(1丄)x(t2(er1) t)dt16.此题总分值 10 分设函数y f(x)由方程y32xyx2y 60确定，求f (x)的极值.设函数 f(u)具有二阶导数，z2f (excosy)满足 一|x(4z excosy)e2x.假设3f (0)0, f(0)0,求f (u)的表达式.418.此题总分值 10 分设曲面:z x2 2y (z 1)的上侧，计算曲面积分:3(x

6、 1) dydz (y31) dzdx (z 1)dxdy(1)证明limnan0;(2)证明级数an收敛.n 1bn19.此题总分值10 分设数列an,bn满足0 an,0 bn,cosan2 2ancosbn且级数nbn收敛.120.此题总分值11 分1 234设a0 1一 一,e 为三阶单位矩阵.1 203(1)求方程组ax 0的一个基础解系；(2)求满足ab e的所有矩阵.21 . 此题总分值 11 分111001证明n阶矩阵111与 002 相似11100n22.此题总分值 11 分1设随机变量 x 的分布为p(x 1) p(x 2)一，在给定 x i 的条件下，随机变量丫服从均匀分

7、布u(o,i),i 1,2.(1)求丫的分布函数；(2)求期望 e(y).23.此题总分值 11 分2x设总体 x 的分布函数为 f(x, )1 ,x 0，其中 为未知的大于零的参数，x1,x2, ,xn是来自0, x 0总体的简单随机样本，1求 e(x), e(x2) ;2求 的极大似然估计量.52013 年考研数学一解析x sin1,可知 lim 1 且lim ( y x)xxxx1lim sin 0，所以有斜渐近线y xxx2.【详解 1】如果对曲线在区间a,b上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点x1, x2及常数01，恒有 f (1 )x1x2(1 )f(xj

8、f(x2)，则曲线是凸的.显然此题中x10, x21, x，则(1)f(x1)f(x2)f (0)(1 x) f (1)x g(x)， f (1 )x1x2f (x)，故当

f (x) 0时，曲线是凸的，即 f (1)x!x2(1)f(xjf(x2)，也就是 f(x) g(x)，应该选c【详解 2】如果对曲线在区间a,b上凹凸的定义不熟悉的话，可令f (x)0时，曲线是凸的，从而f(x) f(0)f(1)0，即 f(x) f (x) g(x)应该选c3.【详解】积分区域如下图。如杲换成直角坐标则应该是:5.【详解】3是否存在常数a，使得对任意的0,都有lim p1【详解】对于y应该选cf(x)

9、f (x) g(x)f (x) f (0)(1 x) f (1)x，则f(0) f (1)0,且f (x)f(x)，故当0，也就是f (x) g(x)，1 x2f(x, y)dy0dx1 0如果换成极坐标则为:1dx01 x0f(x,y)dy，a，b102d0cos sin f(rcos,r sin)rdrd24.【详解】注意x2dxcos2xdxsin2xdxx cosxdxcosxsin xdx 0，xsin xdx 2，所以(x a cosxbsi nx)2dx -3b2) 4 b所以就相当于求函数a2b24b的极小值点，显然可知当0,b2时取得最小10cos sin f(rcos6a

10、ba badbcc dc dad (ad bc) bc(ad bc) (ad be)200 时，对任意的常数k,1，向量1k3,2l3线性无关，但1,2,3线性0相关；故选择a.所以p(a) 0.6,p(b a)p(b) p(ab) 0.50.5p(a)0.2.故选择b 丨.、 1 1&【详解】 ey -y(fdy) f2(y)dy ex1ex2e(y2)，2121212ey12 y(h(y)f2(y)dyex1-ex2，22121212121dy1e(y12) e2(y1) 2ex12-ex! 4e2(x1) 4e2(x2) – e(x1)e(x2)111211d(xjd(x2)e

11、x1x2d(xjd(x2)dy244444故应该选择d.0a0ca b 00 0bc d 00 0 da 0 b a0 d0c 0 da 0 b b0 c0c 0 d应该选b 丨.6【详解】假设向量2,3线性无关，贝1k1,3)0k3)k，对任意的常数k,l矩阵k的秩都等于 2,所以向量1k32l3一定线性无关.9.【详解】曲面zx2(1sin y) y2(1sin x)在点(1,0,1)处的法向量为zx, zy,1|(1,0,1)( 2, 1,1 ),所以切平面方程为2(x 1) ( 1)( y 0)(1)(z1)0，即2x y10.【详解】当 x0,2 时，f (x)2( x1)dx x2

12、x c，由 f (0)0 可知c 0，即 f (x)2cx 2x ;f (x)为周期为 4 奇函数，故f(7)f(1) f(1)11.【详解】方程的标准形式为 史dxy， 这是,x个齐次型方程，设，得到通解为yxecx 1,将初始条件y(1)e3代入可得特解为y xe2x 17.【详解】p(a b) 0.3p(a) p(ab)p( a) p(a)p(b)p(a) 0.5p(a)0.5p(a).7dydz dzdx dxdy12.【详解】由斯托克斯公式印 pdxqdy rdz可知:lzdx ydz dydz dzdxdxdydxdydxy13.【详解】由配方法可知f (xi,x2,x3)2×1(

13、xi由于负惯性指数为 1,故必须要求4 a214 .【详解】e(x2)2×522其中2x22ax1x3ax3)2(x24x2x32x3)20，所以a的取值范围是取上侧，dxy12 2(4 a )x32,2 .，所以e cx2cn-2，由于i 12nc x2i 12 2(x,y)|x y1.是2的无偏估计，故cn51,c 215.【分析】.【详解】25n.先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限.1x 2 t,(t (e?lim x1) t)dt2.1lim x (xx16.【详解】x2l n(1 -x12x2limx10()x解:在方程两边同时对即dydx2小y 2xy 3y

14、22xy x2在1式两边同时对1,y2,y(1)17.【详解】excosy，贝 hz1x2 t!(t (et1) t)dt2 lim (x (e1) x)x求导一次,令鱼0及dxx求导一次,得到(3y22xy22x )y (y 2 xy)2xy60，得到函数唯一驻点x1,y2.得到(6yy4y2xy 4x)y (3y22xy2x )y 2y 040代入，得到y (1)4f(u) f(excos y),0，所以函数y f (x)在x1处取得极小值yzx2z2x这是f(u)excosy2z2yf (u)e2xf (u)e2xcos2y f(u)excosy；二y2f (excosy)e2x，由条件

15、一|x2z2y个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为:常数.对应非齐次方程特解可求得为y*f(u)e(4z2zsin y,yxf (u)e sin yx、2xe cos y)e ，可知f (u)f(u)ecosy4f(u)f (u)oe2uc?e2u其中.故非齐次方程通解为f (u)c1e2uc2e2uc1q2为任意1u4.将初始条件f (0)0, f(0)0代入，可得c1丄.所以f (u)的表达式为 f(u)丄 e2u16161e162u18 .【详解】89设i:z212d取下侧，记由，1所围立体为，则高斯公式可得x y 133(x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1

16、)dxdy2(3(x 1)23(y 1) 1)dxdydz(3x23y27 6x 6y)dxdydz(3x23y27)dxdydz2 10d01rdrr2(3r27)dz 4取下侧上,1(x11)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy(1 1)dxdy1所以(x1)3dydz (y1)3dzdx (z 1)dxdy= (x1331) dydz (y 1) dzdx(z 1)dxdy19.【详解】1 证明: 由 cosanancos bn，及0 an,02bn可得 0 ancosancos bn2所以 0 anbn-，由于级数2bn收敛，所以级数2 证明: 由于0 anbnsina

17、nan也收敛，由收敛的必要条件可得1bn2 lim an0.nanbncosacosbn2sina由于级数nanbn. bna.,si n2bnan2nbn2anbnbn2 2bnbn2bn.bnansin2an2 2 2九日“bn邑2bn2bn2bn收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1幻收敛.1bn20【详解】1对系数矩阵 a 进行初等行变换如下:12341 23a 01110 111 2 03043得到方程组ax0同解方程组x1x2x3显然 b 矩阵是一个4 3矩阵，设 b412341 00 11011 10 10 2，100130 013×4得到ax0的一个基础解系12×4厶厶133x

18、41x1y1乙x2y2z2x3y3z3x4y4z4对矩阵（ae）进行进行初等行变换如下:2)2 21012341001234100(ae)01110 10011101012030 0104311 0112341001 0012610 1 110 100 10213100131410 013141x121y161z11由方程组可得矩阵 b 对应的三列分别为x212y232,z212c;1c2c3x313y343z313x401y401z4012ci6c21c3即满足ab e的所有矩阵为b1 2c132c21 2c3，其中c1, c2,c3为任意常数.1 3c143c21 3c3c1c2c31 1

19、100121.【详解】证明:设a1 11,b0021 1100n分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:n)而且 a 是实对称矩阵，所以一定可以对角化.12相似.22. 【详解】1 分布函数f(y) p(yp(y1p(y2y)p(yy,xy/x 1)p(x1)y/x 1) p(y1) p(y y,x 2)p(y y/x 2)p(xy/x 2)所以的n个特征值为n)所以 b 的n个特征值也为1n,20；对于n1重特征值0，由于矩阵(0eb)的秩显然为 1，所以矩阵 b 对应n1重特征值0的特征向量应该有1个线性无关，进一步矩阵存在n个线性无关的特征向量，即矩阵b 一定可以对角化，且，从而可知n阶矩

20、阵11f(y) 0；当0 y 1时，f(y) !y当 y 0 时,3家;2)2 212当1 y 2时，f(y)1丄丄ly丄；22 242当 y 2 时，f(y) 10,y03y,0 y 141y,1y 2241,y 2所以分布函数为f(y)2 概率密度函数为f (y)f(y)e(y)1- ydy0423.详解】1先求出总体ex2x2-e dxex223 x2xe dx2极大似然函数为:0其它x 的概率密度函数2xxde2x2 x edx2x2当所有的观测值都大于零时,xe|0tef (x,x22x 一e , x0, xtdt得的极大似然估计量为2xe dxn2xii 1xie,xi0,其它其它lnl(nln 2in xinin1，令0，dn2xii 1n3因为x1,x2, ,xn独立同分布,显然对应的 xi,x；, ,xf也独立同分布，又有1个可知exi2,由辛钦大数定律，可得limnx2exi0，由前两问可知,n2xi2口 ，exi2，所以存在n常数a，使得对任意的都有 lim pn