2010年考研数学一真题一、选择题（1~8432四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）极限??????[ ??2??→∞(????)(????)

]??=(a)1 (b)??(c)?????? (d)??????【考点】c。【解析】【方法一】]}这是一个“1∞”型极限]}??????[ ??2??→∞(????)(????)

]??=??????{[1??→∞

(???? (????)(????)

(????)(????)(????

(???? (????)(????)

??=??????=???????????? ??=????????→∞而????????????

??2

=????????????(1

(???? )?????? )??→∞

(????)(????)

??→∞=??????????→∞=?? ??

(???? )??????(????)(????)

(等价无穷小代换)则??????[ ??2??→∞(????)(????)【方法三】

]??=??????对于“1∞”型极限可利用基本结论:若????????(??)=0,????????(??)=且????????(????(??)=??则??????(1 ??(??))??(??)=????,求极限由于????????(??)??(??)=??????

??2(????)(????)

?????→∞

??→∞ (????)(????)=??????

(????)?? 2??????

=?? ??则??????[ ??2??→∞(????)(????)【方法四】

??→∞ (????)(????)]??=????????????[

??2

]??

=??????[(???? )(???? )]????→∞

(???? )(???? )

??→∞

??2=??????

??)?? ???????

??)??

=????????? =????????→∞

?? ??→∞ ??综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限??=??(????)??(????)=??为可微函数，?? ??2且??′′ ≠0,??????2????

??????= 。????(a)?? (b)??(c)?? (d)??

【答案】b。【解析】????

??′

??′(

??)?? ′

??

??′????? ′?????因为 ??

??=

1

2

= 1

2??,2????2

??′

????

′????′?1

??′

??′2

??′= ??= 1??= 1????????

′??????????

??′2??????????

??′21 ??′????? ′21 2??′2

????12??′12

=??′22??′22

=??综上所述，本题正确答案是(b)。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分设????∫12(1??)

????的收敛性0 (a)仅与??的取值有关 (b)仅??的取值有关与??,??的取值都有关 (d)与??,??的取值都无关【答案】d。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在??→0和??→1时无界∫12(1??)

=∫12(1??)

???? ∫12(1??)

????0

2 ????

1 ????√0 2 √√2 ∫12(1??)2 0

??→0时无界。由于??√????2(1??)??√??

≥0，

????????→0

21 1=01??1已知反常积分∫

1 ∫12(1??)

????也收敛。2?? 2 ??0 0 在反常积分∫1??√????2(1??)

??→1时无界，由12于2(1??) ≥??√??

??√????√????

2(1??) 2????????→1

??1√√1??√

=??→1

??????(1??)1(1??) 2

=0 (洛必达法则)且反常积∫1

∫12(1??)

????收敛1 2

1 ????2??,??∫12(1??)

????收0 敛。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)??????∑??

∑?? ????→∞

??1

??1

(????)(?? 2?? 2)(a)∫1????

1 ???? (b)∫1????∫?? 1

????0 0(1??)(1?? 2) 0 0(1??)(1??)(c)∫1????∫1 10 0(1??)(1??)【答案】d。【解析】

????

(d)∫1????∫1 10 0(1??)(1?? 2)

????因为??????

∑?? ??

??????

∑?? ????→∞

??1

??1

(????)(?? 2??

??→∞

??1

??1

??(1

??)??2(1( ??)2)?? ????????∑??

∑??

1 ?1??→∞

??1

??1

(1 ??

??

??2∫1????∫1 1

?? ??????0 0综上所述，本题正确答案是c。

(1??)(1?? 2)【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设??为??×??矩阵，??为??×??矩阵，??为??阶单位矩阵，若???? ??,则(a)秩r(??) ??,秩r(??) ?? (b)秩r(??) ??,秩r(??) ??秩r(??) r(??) ?? (d)秩r(??) r(??) ??【答案】a。【解析】因???? 为??阶单位矩阵，??(????) ??又因 ??(????)≤min(??(??),??(??)),故??≤??(??),??≤??(??)另一方面，??为??×??矩阵，??为??×??矩阵，又有??(??)≤??,??(??)≤??可得秩r(??)=??,秩r(??)=??综上所述，本题正确答案是a。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩设??4??2+??=????3??相似于1 11101

1?10?1?1?10?1?10【答案】d。【解析】由????=????,??≠??知??????=??????，那么对于??2+??=??推出来(??2+??)??=?????2+??=0??01????~??，而??????(??)=3,可知d正确综上所述，本题正确答案是d。【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7)设随机变量??的分布函数??(??)={??{??=1}=

0,?? <0,1,0 ≤??<1, ,则21??????,?? >1.(a)0 (b)12(c)1????1 (d)1????12【答案】c。【解析】1 1??{??=1}=??(1)???(1?0)=1????1?2=综上所述，本题正确答案是c。

2????1【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质(8)设??1

(??)为标准正太分布的概率密度，??2

(??)为[?1,3]上均匀分布得概率密度，若

????

(??),?? ≤0,??(??)={ 1(

(??>0,??>0)????2

??,?? >0,为概率密度，则??,??应满足(a)2??+3??=4 (b)3??+2??=4(c)??+??=1 (d)??+??=2【答案】a。【解析】根据密度函数的性质∞ 0 ∞1=∫∞

??(??)????=∫ ????1∞

(??)???? ∫0

????2

(??)????0 ∞=??∫ ??1∞

(??)???? ??∫0

??(??)????2??(??)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在??=0处，故10∫ ??1

(??

)????=12∞??(??)为[1,3] 上均匀分布的概率密度函数，即21{??(??)= 4， 1≤??≤3{20，其他∞ ( ) 31 3∫ ??20

??????=∫ 4????=40所以1=???12

???3,可得2?? 3??=44综上所述，本题正确答案是a。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（9~14424）??=???? ,设{ ??

，??2??| = 。??=∫????(1 0【答案】0。【解析】

????2

??=0【方法一】

????=??′(??)=????(1 ??2)=???? ??′(??) ?? ??

??????(1 ??2)??2?? ?? 1 2??????2

=????

??????(1 ??2)]???′

=??2??[1

????(1 ??2)]则??2??| 1?[0+????2??0【方法二】由参数方程求导公式知，??2?? ??′′(0)??′(0)???′′(0)??′(0)|????2

??0

[??′(0)]3??′(??) ??????,??′′(??) ?????,??′(0) ?1,??′′(0) 12????′(??) ????(1+??2),??′′(??) ,1+??2

0,??′′(0) 0代入上式可得【方法三】

??2??| 。????2??0由?? ?????得，?? 则????????? ∫ ????(1+??2)????0???? 1????

???????(1+????2??)??2?? 1 2??????[????(1+????2??)? ]????2

??2

1+????2??当?? ?? 1，则??2??| 0????2??0综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法??2√√?? 。0【答案】?4π。【解析】令√?? x ??2,???? 2????????2 ?? ??∫ √????????√??????=∫2??2????????????=2∫??2??????????=0 0 00=0

?4∫????????????????00=0

?4∫??????????????=?4??0综上所述，本题正确答案是?4??。【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11)已知曲线??的方程为??=1?|??|,??∈[?1,1],起点是(?1,0),终点是则曲线积∫????????+??2????= 。??【答案】0。【解析】2??=+??,其中2,??:??=1+??,(?1≤??<0)??,1

:??=1???,(0≤??<1)所以∫????????+??2????=∫??

????????+??2????+∫??2

????????+??2????=[??(1+??)+??2]????++??)???2]?????1 0=

[2??2

+??]????+∫1[???2??2]????=0?1 0综上所述，本题正确答案是0。??????1??2-1o1??【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算(12)设??={(??,??,??)|??2+??2≤??≤1}，??的形心坐??= 。【答案】2。3【解析】??????????????? ∫2??????∫1??????∫1????????=

???

= 0 0 ??2∫2??????∫1??????∫1

?????? 0 0 ??21 ??4

2??(??2?

??6 1∫2??????∫1??(

)????

4 12)| ????= 0 0 ??22

2 =

?? 021?2?? 2=综上所述，本题正确答案是2。3

6?? =32【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13)设??1

=(1,2,,??2

=(1,1,0,2)??,

=(2,1,1,??)??，若由??,??1

,

生成的向量空间的维数2，??= 。【答案】6。【解析】??,??1

,

2

,

,??3)=21 1 2 1 1 2(??,??,??)=

1 1 → 0 1 31 2 3

?1 0 1 0 0 ???60 2 ?? 0 0 0所以可得???6=0,??=6综上所述，本题正确答案是6。【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念(14)设随机变量??的概率分布为??{??=??}=。【答案】2。

????!

??=0,1,2,则????2=【解析】泊松分布的概率分布为??{??=??}=?????????,??=0,1,2,?,??!随机变量??的概率分布为??{??=??}=对比可以看出??=???1,??~??(1)

????!

,??=0,1,2,?????=????=而????2=????+(????)2=1=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布；概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质94程或演算步骤。(15)求微分方程??′′?3??′+2??=2??????的通解【解析】由齐次微分方程??′′?3??′+2??=0的特征方程??2?3??+2=0???1

=?? =22所以，齐次微分方程??′′?3??′+2??=0的通解为??=??1

????+??2

??2??设微分方程??′′?3??′+2??=2??????的特解为???=??(????+??)????则(???)′=(????2+2????+????+??)????(???)′′=(????2+4????+????+2??+2??)????代入原方程，解得

??=?1,??=?2故特解为

???=??(????2)????所以原方程的通解为??=??+???=??1

????+??2

??2??+??(????2)????【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(16)求函数??(??)=【解析】

∫??2(??21

???)?????2????的单调区间与极值函数??(??)的定义域为(?∞,+∞)，??2??(??)=∫ (??2

??2 ??2???)?????2????=??2∫ ?????2?????∫ ???????2????1??2??′(??)=2??∫ ?????2????+2??3?????4

1?2??3?????4

1??2=2??∫ ?????2????1 1令??′(??)=0 ，得??=0,??=列表如下??(?∞,?1)?1(?1,0)0(0,1)1(1,+∞)??(??)?0+0?0+??′(??)极小极大极小由上可知，??(??)的单调增区间为(?1,0)和(1,+∞)；??(??)的单调减区间为(?∞,?1)和(0,1),极小值为极大值为

1??(±1)=∫(??2???)?????2????=010 1 1 1 1 1??(0)=∫(???)?????2????=∫???????2????=?2?????2| =2(1???)1 0 0【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别函数的极值高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及其导数(17)(i??)]??????与????|??????|????(??

=1,2,?)的大0 0小，说明理由；(ii)记????=∫1|??????|[????(1+??)]??????(??=1,2,?),求极限????????。0 ??→∞ ??【解析】(i)当0≤??≤1时，因0≤????(1+??)≤??,所以0≤|??????|[????(1+??)]??≤????|??????|所以有∫1|??????|[????(1+??)]??????0(ii)【方法一】由上可知，

≤∫1????|??????|????,(??0

=1,2,?)0≤????

1 1=∫ |??????|[????(1+??)]??????≤∫ ????|??????|????,0 0∫1????

=?∫1????

=?????+1

??????|1

+ 1 ∫1????????= 10 0 ??+1

0 ??+1 0

(??+1)2所以??????∫1????|??????|????=0??→∞ 0由夹逼定理可得???????? =0??→∞ ??【方法二】由于??????为单增函数，则当??∈[0,1]时，????(1+??)≤????2,从而有1 10≤????=∫ |??????|[????(1+??)]??????≤??????2∫ |??????|????,0 01 1 1∫ |??????|????=?∫ ??????????=?????????|10

+∫ ????=10 0 0又????????????2=0，由夹逼定理知???????? =0??→∞ ??→∞ ??【方法三】已知0≤????

1 1=∫ |??????|[????(1+??)]??????≤∫ ????|??????|????0 0因为????????→0+

??????1??

=????????→0+

1??1??2

=0,且????????在(0,1]上连续，则????????在(0,1]??>使得0≤|????????|≤??则∫1????|??????|????≤??∫1????1 ????=??0 0 ??由????????

=0及夹逼定理知???????? =0??→∞??

??→∞ ??【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(18)求幂级数∑∞

(1)

??1 ??2??的收敛域及和函数。|【解析】|

??=1 2??1????????| ??1

|=??????|??2??2 (2??

=??2????→∞ ????

??→∞ ??2??(2?? 1)??2<1?1 <??<1即1 <??<时，原幂级数绝对收敛??

±1时，级数为∑∞

(1)

??1，由莱布尼茨判别法显然收敛，??=1 2??1故原幂级数的收敛域[1,1] 。又∑∞

??1 ??2??

??∑∞

??1 ??2??1??=1 2??1 ??=1 2??1令??(??)=∑∞

(1)

??1 ??2??1 ,??∈(1,1)??=1 2??1??则′(??)=∑∞????=1

(1)

??1

??2(??1)

= 11?? 2所??(??)=∫????′(??)????=?????????????? ??0由于??(0)=0，所以??=0所以??(??)=??????????????所以幂级数的收敛域[1,1] ，和函数????????????????,??∈[1,1] 。【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(19)设??为椭球面??:??2+??2+??2?????=1上的动点，若??在点??处的切线平面与??????面垂直，求点??的轨迹??,并计算曲面积分??=? (??√3)|???2??| ????,∑????上方的部分。∑√4+??2+??2?4????【解析】求轨迹??令??(??,??,??)=??2+??2+??2??????1,故动点??(??,??,??)的切平面的法向量为

??={2??,2?????,2?????}由切平面垂直??????面，得2?????=04又已知??为椭球面??:??2+??2+??2?????=1上的动点，所以4??2+??2+??2?????={ 2?????=0再计算曲面积分

?{??2+3??2=2?????=0

为??的轨迹??4????????:??2+3??2=14又对方程??2+??2+??2?????=1两边分别对??,??求导可得2??+2??

???

=0,2?? +2??

??????????=0???? ???? ???? ????解之得 ????????

= 2?????2??

, ????????

=2????????2??ds=√1+??2+??2????????=

√1+(2?? )2+(2?????)2?????????? ??

???2??

???2??=√4??2+5??2+5??2?8????|???2??|

????????=√4+??2+??2?4????|???2??|

????????于是??=?

(??+√3)|???2??| ????=

(??+√3)????????∑√4+??2+??2?4????

??????=√3? ????????=√3×??×1×2

=2??【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算?? 1 1 ??设??= 01不同的解(i)求??,??；

???1 0 ,??= 1.已知线性方程????=??存在21 ?? 1(ii)求方程组????=??的通解。【解析】(i)因为已知线性方程组????=??存在2个不同的解，所以??(??)=??(??)<???????1 故|?????1

1 1|=(???1)|??

|=(??+1)(???1)2=01知??=1,?1当??=1时，

1

1 ??1 1 1 ????= 0 0 0?1,1 1 1 1显然??(??)=1,??(??)=2，此时方程组无解，??=1舍去，当??=?1时，3?1 1 1 ?? 1 0 ?1 2??= 01

?2 0|1 → 0 1 01 ?11 0 0 0

?12??+2因为????=??有解，所以??=?2即，??=?1，??=?2(ii)??=?1，??=?2时，已知31 0 ?1 2??→ 0 1 0|?10 0 0 2所以????=??的通解为

[ 0]1 3 1其中??为任意常数。

??=

[?1]+??[0]20 12【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解??(??1

,??2

,??3

)=????????在正交变换??=????下的标准形为

+??2

2,且??的第三列为(√2,0,√2)??2 2??；(ii??????3阶单位矩阵。【解析】2(i??(??12

,??3

)=????????在正交变换??=????下的标准形为??2+??1

2，可知二次型矩阵??的特征值是1,1,0。3(√20√2)??，可知32 2征值??=0的特征向量。

=(1,0,1)??是矩阵??在特根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设??关于??1=2?? =1??=(??21

,??2

,??3

)??，3则3

=0即??,1,

+?? =03取??1=(0,1,0)??,??2=(?1,0,?1)????=(??1

,

,0)(??1

,

,??3)1

0 1 0

1 11=100=1001000100110 1 0 1 0 1 2 2= 1 0 0 2 2 = 0 1 00 1 0 12

1 1 10 2 2 0 2(ii)由于矩阵??的特征值是1,1,0,那么??+??的特征值为2,2,1，因为??+??的特征值全大于0，所以??+??正定。【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，二次型的秩，二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性(??,??)的概率密度为??(??,??)=????2?? 2+2?????? 2,∞ <??<+∞,∞ <??<+∞求常数??及条件概率密度????|??(??|??)。【解析】+∞ +∞??(??)=∫??∞

??(??,??)????=∫∞

????2?? 2+2?????? 2????+∞=??∫ ??(????) 2?? 2????=?????? ∞

+∞∫ ??(????)∞

2????=??√?????? 2又1=即??=

∞1∞??

=???? 2∞

=????当(??)>0,等价∞ <??<+∞时，??(??,??)

2+2?????? 2 1???? (??|??)= = = ???? 2+2?????? 2????|??

??(??) ??√?????? 1

√??=√??

??(????)

2

<??<+∞【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随机变量的分布??的概率分布为????????????1????????2??2其中参数θ∈(0,1)未知，以????表示来自总体??的简单随机样本2 （样本容量为??）中等于??的个数(??=1,2,3),试求常数??1,??,??2 ??=∑3 ????=1 ??

??为??的无偏估计量，并求??的方差。??【解析】??记=1???

=?????2?? =??2,??~??(??

) ??=1,2,32故??????=??????

3 ?? ??3∑????= ??∑??

??????

=??[??1

(1???)+??2

(?????2)+??3

??2]??=1要??=∑3 ??????为??的无偏估计量，则有??=1 ????[??1

(1???)+??2

(?????2)+??3

??2]=????1可得

+??(??2

???1

)??+??(??3

???2

)??2=???? =1

?? =011?? ?? =1? ?? =??,??=2

??????为??的无偏估计量2 1 ???? ??? =0

?? =13

??=1 ??3 2 ??此时，??=

1(?? +

),由?? +?? +

=??故?? 2

1 2 3??

1(?? +??)=1(?????)=1??? 2 3 ?? 1 ????????~??(??,??

)，??1

~??(??,1???)，所以??????=??(1? 1)

1

=??(1?

=(1???)???? 1 ??间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计