1、2006考研数二真题及答案一、填空题（1）曲线的水平渐近线方程为（2）设函数 在x=0处连续，则a=（3）广义积分（4）微分方程的通解是（5）设函数确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导， (6) 设a = 2 1 ,2阶矩阵b 满足ba=b +2e,则|b|= . -1 2解:由ba=b +2e化得b(a-e)=2e,两边取行列式,得 |b|a-e|=|2e|=4,计算出|a-e|=2,因此|b|=2.二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量，则a（a）（b）（c）（d）由严格单调增加 是凹的即知（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是b

2、（a）连续的奇函数（b）连续的偶函数（c）在x=0间断的奇函数（d）在x=0间断的偶函数（9）设函数则g(1)等于c（a）（b）（c）（d） ， g(1)= （10）函数满足的一个微分方程是d（a）（b）（c）（d）将函数代入答案中验证即可.（11）设为连续函数，则等于c（a）（b）（c）（d）（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是d（a）若（b）若（c）若（d）若 今 代入(1) 得 今 故选d(13)设a1,a2,as 都是n维向量，a是mn矩阵，则（ ）成立.(a) 若a1,a2,as线性相关,则aa1,aa2,aas线性相关.(b) 若a1,a2,as线性

3、相关,则aa1,aa2,aas线性无关.(c) 若a1,a2,as线性无关,则aa1,aa2,aas线性相关.(d) 若a1,a2,as线性无关,则aa1,aa2,aas线性无关.解: (a)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用a左乘等式两边,得c1aa1+c2aa2+csaas=0,于是aa1,aa2,aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(ab) r(b).矩阵(aa1

4、,aa2,aas)=a( a1, a2,as ),因此r(aa1,aa2,aas) r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(a).(14)设a是3阶矩阵,将a的第2列加到第1列上得b,将b的第1列的-1倍加到第2列上得c.记 1 1 0 p= 0 1 0 ,则 0 0 1(a) c=p-1ap. (b) c=pap-1. (c) c=ptap. (d) c=papt. 解: (b)用初等矩阵在乘法中的作用得出b=pa , 1 -1 0c=b 0 1 0 =bp-1= pap-1. 0 0 1三、解答题（15）试确定a，b，c的常数值，使其中是当.解:泰勒公式代入已知等式得整理得比

5、较两边同次幂函数得b+1=ac+b+=0式-得代入得代入得（16）求.解:原式=.（17）设区域，计算二重积分.解:用极坐标系.（18）设数列满足，证明:（1）存在，并求极限； （2）计算.证:（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则.（19）证明:当时，.证:令只需证明严格单调增加 严格单调减少又故单调增加（严格）得证（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.（i）验证；（ii）若 求函数.证:（i）（ii）令（21）已知曲线l的方程（i）讨论l的凹凸性；（ii）过点引l的切线，求切点，并写出切线的方程；（iii）求此切

6、线与l（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.解:（i）（ii）切线方程为，设，则得点为（2，3），切线方程为（iii）设l的方程则由于（2，3）在l上，由(22)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4×1+3×2+5×3-x4=-1， ax1+x2+3×3+bx4=1 有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵a的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是ax=0的两个线性无关的解.于是ax=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(a)2,从而r(a)2.又因为a的行向量是两两线性无关的,所以r

7、(a)2.两个不等式说明r(a)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(a|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(a)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2×3+4×4， x2=-3+x3-5×4，求出一个特解(2,-3,0,0)t和ax=0的基础解系(-2,1,1,0)t,(4,-5,0,1) t.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)t+c1(-2,

8、1,1,0)t+c2(4,-5,0,1)t, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵a的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)t, a2=(0,-1,1)t都是齐次线性方程组ax=0的解. 求a的特征值和特征向量. 求作正交矩阵q和对角矩阵l,使得 q taq=l. 解: 条件说明a(1,1,1)t=(3,3,3)t,即

a0=(1,1,1)t是a的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是ax=0的解说明它们也都是a的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是a的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0, c0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)t.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)t, h2=(-,)t.作q=(h0,h1,h2),则q是正交矩阵,并且 3 0 0 q taq=q-1aq= 0 0 0 . 0 0 0