第8章系统的状态变量分析

8.1复习笔记

描述系统的方法分为输入—输出法和状态变量法，本章重点介绍了第二种方法—状态变量法，包括状态方程的建立和求解问题，重点讨论了建立状态方程的几种方法，探讨了状态方程的时域解法和变换域解法，最后讨论了系统可控性和可观测性问题。

【学习重点】

（1）重点掌握连续系统状态方程的建立方法（微分方程、系统函数、流/框图、电路图）。

（2）重点掌握离散系统状态方程的建立方法（差分方程、系统函数、流/框图）。

（3）掌握状态方程的求解方法（时域解法＋变换域解法）。

（4）重点掌握可控性和可观测性的判别方法。

（5）重点掌握利用状态方程判断系统的稳定性问题。

一、状态方程和输出方程

状态方程描述了系统状态变量的一阶导数（或一阶差分）与状态变量自身及系统输入之间的关系。输出方程描述了系统输出与状态变量及系统输入之间的关系。状态方程和输出方程的结构见表8-1-1。

表8-1-1状态方程和输出方程的结构

【注意】A，B，C，D均为常数矩阵，其中A为n×n方阵，称为系统矩阵；B为n×p矩阵，称为控制矩阵；C为q×n矩阵，称为输出矩

阵；D为q×p矩阵。

二、状态方程的建立

1由系统的输入输出方程建立状态方程

（1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图。

（2）选一阶子系统（积分器/迟延器）的输出作为状态变量。

（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程。

（4）在系统的输出端列输出方程。

2由电路图直接列写状态方程

（1）选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。

（2）对接有所选电容的独立节点列写KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL方程。

（3）若上一步所列方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程消去，然后整理给出标准的状态方程形式。

（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。

三、系统状态方程的解

1连续系统状态方程的解

已知起始状态x（0－），状态方程和输出方程为x·＝Ax＋Bf，y＝Cx＋Df。

解状态方程有时域解法

和变换域解法两种。这里也以二阶系统为例，将时域解法与变换域解法的求解步骤一并归纳，见表8-1-2。

表8-1-2连续系统状态方程解法

2离散系统状态方程的解

已知状态x（0），状态方程和输出方程为x（k＋1）＝Ax（k）＋Bf（k），y（k）＝Cx（k）＋Df（k）。

离散系统状态方程也有时域解法和变换域解法两种。这里也以二阶系统为例，将时域解法与变换域解法的求解步骤一并归纳，见表8-1-3。

表8-1-3离散系统状态方程解法

四、用状态方程判断系统的稳定性

根据系统矩阵A的特征值可判断因果系统的稳定性。

对于连续系统：只要|sI－A|＝0的根均在s平面的左半平面，则该因果连续系统是稳定的。

对于离散系统：只要|zI－A|＝0的根均在z平面的单位圆内，则该因果系统是稳定的。