1、考研数学(三)真题、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)sinx一(1)若lim(cosx-b)=5,贝 ua=,b=x0ex-a(2)设函数 f(u,v)由联络式“刈，y=x+g(y)断定，其间函数 g(y)可微，且 g(y),0,则墓=2xex设f(x)=，-121,x-22，则1f(x-1)dx=2(4)2,、2,、2,一次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩为设随机变量x遵守参数为入的指数分布，则pxajdx=2(6)设全体x遵守正态分布n(a,b)，全体y遵守正态分布n(。o2),x1,x2，xi和yi

2、，y2,工2别离是来自全体x和y的简略随机样本，则、_2n2_2e(xi-x)+z(yj-y)lyjme=ni+n2-2lj二、选择题(本题共 6 小题，每小题 4 分，？茜分 24 分.每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)函数f(x)=|x|s1n(x-2)鄙人列哪个区间内有界x(x-1)(x-2)2(a)(-1,0).(b)(0,1).(c)(1,2).(8)设 f(x)在(*,+0)内有界说，且limf(x)=a,xt二(d)(2,3).g(x)fe),x*0,则0,x=0(a) x=0 必是 g(x)的第一类接连点.(b)x=0 必是

3、g(x)的第二类接连点.(c) x=0 必是 g(x)的接连点.(d) g(x)在点 x=0 处的接连性与 a 的取值有关.(9)设 f(x)=|x(1-x)|,则(a) x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(b) x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(c) x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(d) x=0 不是 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.(10)设有下列出题:若工(u2nt+u2n)收敛，则工un收敛.qo(2)若un收敛，则un书ooo收敛.nn1c

4、o(3)若lim皿1,则工un发散.n:unnooooqo(4)若(un+vn)收敛,则un,evn都收敛.nnn=1则以上出题中正确的是(a)(1)(2).(b)(2)(3).(c)(3)(4).(d)(1)(4).(11)设f(x)在a,b上接连，且f(a)0,f(b)0,则下列结论中差错的是(a)当|a|=a(a#0)时，|b尸a.(b)当|a|=a(a#0)时，|b尸a.(c)当|a|#0时，|b|=0.(d)当|a尸0时，|b|=0.若p|x|f(a).(b)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)f(b).(c)至少存在一点x0e(a,b),使得f仇)=0.(d)至少存在一点x

5、0(a,b),使得f(x0)=0.(12) 设n阶矩阵a与b等价，则必有(13).*_设n阶矩阵a的伴随矩阵a#0,5,&,&,&对错齐次线性方程组ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组(a)不存在.(b)(c)富含两个线性无关的解向量.(d)ax=0的基础解系仅含一个非零解向量.富含三个线性无关的解向量(14) 设随机变量x遵守正态分布n(0,1),对给定的户(0,1)

,数u0满足pxu=a,qocos2x2).x+y)da,其间d是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分 8 分)设 f(x),g(x)在a,b上

6、接连，且满足xxfaf(t)dtfag(t)dt,xwa,b),bbxf(x)dx0)；dr(ii)推导=q(1-ed)(其间 r 为收益)，并用弹性ed阐明价格在何规模内改变时,dp降低价格反而使收益添加.(19)(本题满分 9 分)设级数468-(-二:x二:)242462468的和函数为 s(x).求:(i) s(x)所满足的一阶微分方程；(ii) s(x)的表达式.(20)(本题满分 13 分)设的=(1,2,0)t,%=(1,a+2,3a)t,%=(-1,-b-2,，+2b)t,b=(1,3,-3)t,试谈论当a,b为何值时，(i)0 不能由 eq,02,3q线性表小;(n)b 可由

7、伪，0t2,0(3 仅有地线性标明，并求出标明式(in)b 可由 a,a2,3q线性表不，但表木式不只有,并求出表本式(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵证明:bb1b-.b1,(i)求a的特征值和特征向量；(n)求可逆矩阵p,使彳导pap为对角矩阵.(22)(本题满分 13 分)1_1_1.设a,b为两个随机作业，且p(a)=一,p(b|a)=一,p(a|b)=一,令4321,a生，1,b发生，x=一小,y=，一小,0,a不发生，0,b不发生.求(i)二维随机变量(x,y)的概率分布；(n)x与y的有联络数很y；22.(m)z=x+y的概率分布.(23)(本题满分 13 分)设随机变量x

8、的分布函数为f(x,a,)=1j,xa，0,×0,b1.设x1,x2，xn为来自全体x的简略随机样本，(i)当a=1时，求不知道参数b的矩估量量；(n)当 a=1 时，求不知道参数b的最大似然估量量(出)当0=2时，求不知道参数a的最大似然估量量2004年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)若limsinx(cosx-b)=5,则 a=1,b=4x0ex-a【分析】本题归于已知极限求参数的反疑问.【详解】因为lim网上(cosxb)=5,且limsinx.(cosxb)=0,所以x)0ex-ax0lim(exa)=0,得 a

9、=1.极限化为x0sinx.xlim(cosx-b)=lim-(cosxb)=1b=5,得 b=-4.x0ex-ax0 x【评注】一般地，已知limf3=a,g(x)(1)若 g(x)t0,则 f(x)t0；(2)若 f(x)t0,且a丰0,则 g(x)t0.(2)设函数 f(u,v)由联络式 fxg(y),y=x+g(y)断定，其间函数 g(y)可微，且 g(y)丰0,:2f=g(v)fufvg2(v)【分析】令 u=xg(y),v=y,可得到 f(u,v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 u=xg(y),v=y,则 f(u,v)=+g(v),g(v)ff1:2fg(v)-5::ug(v)

10、fufvg2(v)【分析】本题归于求分段函数的定积分，先换元:的积分性质即可.211详解令 x1=t,(1f(x-1)dx=j-f(t)dt=_1f(x)dt922211=2xexdx，i1(-1)dx=0(一)2一22所以,2xex设f(x)=,_1-mx2，贝uf(x-1)dx=2x-1=t,再使用对称区间上奇偶函数【评注】一般地，关于分段函数的定积分，按分界点区别积分区间进行求解222,一次型f（xi,x2,x3）=（xi+x2）十（x2x3）+（x3+x1）的秩为 2.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，所以使用初等改换或配办法均可得到答案.【详解一因为f（x

11、1,×2,x3）=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x3+x1）2_2_2_2=2x12x22x32x1x22x1x3-2x2x3211a=121u-12【详解二】因为f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2_2_2_2=2x12x22x32x1x22x1x32x2x311232=2(x12x22x3)2(x2-x3)232=2y122,11其间y二x1x2x3,22所以二次型的秩为 2.1入的指数分布，则pxavdx=-.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差当即得正确答案1【详解】因为dx=，x的分布函数为故111pxdx-1-pxdx-1-pxl1

12、-f（户.x入e【评注】本题是对重要分布，即指数分布的查询，属根柢题型.f(x)0,×0,x三0.所以二次型的矩阵为由初等改换得1-12、1 -1203-3t03-3、03一3-118×0-4.sin2limf(x)=，limf(x)=0,limf(x)=0,x04x1x2所以，函数 f(x)在(-1,0)内有界，故选(a).【评注】一般地，如函数 f(x)在闭区间a,b上接连，则 f(x)在闭区间a,b上有界；如函数 f(x)在开区间(a,b)内接连，且极限lim+f(x)与limf(x)存在，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有界.xaxb-(8)设 f(x)在(q,+叼内有界说，且li

13、mf(x)=a,x二g(x)=f(x),0，则0,x=0(a) x=0 必是 g(x)的第一类接连点.(b)x=0 必是 g(x)的第二类接连点.(c) x=0 必是 g(x)的接连点.(d) g(x)在点 x=0 处的接连性与 a 的取值有关.d1【分析】查询极限limg(x)是不是存在，如存在，是不是等于 g(0)即可，经过换兀u=,x0 x可将极限limg(x)转化为limf(x).x_.0 x产:i11【详斛】因为limg(x)=limf(-)=limf(u)=a(令u=),又 g(0)=0,所以,x0 x0 xu)二x当 a=0 时，limg(x)=g(0),即 g(x)在点 x=0 处

14、接连，当 a#0 时，x0【详解】因为en1-1ni一z(xi-x)2=o2,i11n2_e=。2,limg(x)*g(0),即 x=0 是 g(x)的第一类接连点，因而，g(x)在点 x=0 处的接连性x.0与 a 的取值有关，故选(d).【评注】本题归于根柢题型，首要查询分段函数在分界点处的接连性(9)设 f(x)=|x(1-x)|,则(a) x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(b) x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(c) x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(d) x=0 不是

15、 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.c【分析】因为 f(x)在 x=0 处的一、二阶导数不存在，可使用界说判别极值情况，查询 f(x)在 x=0 的左、右两边的二阶导数的符号，判别拐点情况【详解】设 060,而 f(0)=0,所以 x=0 是 f(x)的极小值点.显着，x=0 是 f(x)的不可以导点.当 xw(-5,0)时，f(x)=b(1-x),f(x)=20,当 xw(0,初时，f(x)=x(1-x),f(x)=2:unnqqoooqo(4)若工(un+vn)收敛，则z5,工vn都收敛.n1n1n1则以上出题中正确的是(a)(1)(2).(b)(2)(3).(c)

16、(3)(4).(d)(1)(4).b【分析】可以经过举反例及级数的性质来阐明 4 个出题的正确性.【详解】是差错的，如令un=(1)n,显着，zun涣散，而z(u2nv+u2n)收敛.f(x)在 x=0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判别(2)是正确的，因为改动、添加或削减级数的有限项，不改动级数的收敛性qo1 可得到un不趋向于零(nt哨,所以un发散.n11.二二逐个,显着，zun,zvn都发散，而nn=1n=1z(un+vn)收敛.故选(b).n1【评注】本题首要查询级数的性质与收敛性的区别法，归于根柢题型(11)设f(x)在a,b上接连，且f(a)0,f(b)c0,则下列结论中差错的

17、是(a)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)f(a).(b)至少存在一点x0w(a,b),使得f(xo)f(b).(c)至少存在一点x0w(a,b),使得f(x0)=0.(d)至少存在一点xo(a,b),使得f(xo)=0.【分析】使用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由打扫法可选出差错选项【详解】首要，由已知f(x)在a,b上接连，且f(a)0,f(b)0,由极限的保号性，至少存在一点x0w(a,b)xax-a使彳导f(x0)f(a)a0,即f(xo)f(a).同理，至少存在一点xqe(a,b)xo-a使得f(xo)f(b).所以，(a)(b)(c)都正确，故选(d).【评

18、注】本题归纳查询了介值定理与极限的保号性，有必定的难度(12)设n阶矩阵a与b等价，则必有(a)当|a|=a(a#0)时，|b|=a.(b)当|a|=a(a#0)时，|b|=a.(c)当|a|#0时，|b|=0.(d)当|a|=0时，|b|=0.d【分析】使用矩阵a与b等价的充要条件:r(a)=r(b)当即可得.【详解】因为当|a|=0时，r(a)n,又a与b等价，故r(b)n,即|b|=0,故选(d).(3)是正确的，因为由，人1(4)是差错的，如令un=，vnn【评注】本题是对矩阵等价、部队式的查询，属根柢题型.-*_一(13)设n阶矩阵a的伴随矩阵a于0,若互不相等的解，则对应的齐次线性

19、方程组ax=0的基础解系(a)不存在.(b)仅含一个非零解向量.(c)富含两个线性无关的解向量.(d)富含三个线性无关的解向量.b【分析】要断定基础解系含向量的个数，实践上只需断定不知道数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=n-r(a),而且n,r(a)=n,r(a*)=n,r(a)=n-1,0,r(a)n1.*根据已知条件a#0,所以r(a)等于n或n-1.又ax=b有互不相等的解即解不只有，故r(a)=n-1.然后基础解系仅含一个解向量，即选(b).*【评汪】本题是对矩阵a与其伴随矩阵a的秩之间的联络、线性方程组解的规划等多个常识点的归纳查询(14)设随机变量x遵守正态分

20、布n(0,1),对给定的(0,1),数 ua 满足pxaua=a,若p|x|x=a,则x等于(a)ua.(b)ua.(c)uj(d)u.c1_222【分析】使用标准正态分布密度曲线的对称性和几许意义即得【详解】由p|x|x=.故正确答案为(c).2【评注】本题是对标准正态分布的性质，严肃地说它的上分位数概念的查询.三、答复题(本题共 9 小题，满分 94 分.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.)(15)(本题满分 8 分)21cosx、求lim(一 2-一 2).x0sinxx【分析】先通分化为“0”型极限，再使用等价无量小与罗必达规则求解即可022.221cosxx-sinxcosx【

21、详解】lim(-)=lim2-2x0sinxxx-0 xsinx&,&,&,&对错齐次线性方程组ax=b的x2-1sin22x=lim4-二limx0 x4x01。“2x-sin4x2二lim4x3x01-cos4x6x2=limg4x)2x06x【评注】本题归于求不决式极限的根柢题型，关于“-”型极限，应充分使用等价无量小替换来简化核算0(16)(本题满分 8 分)求h(4×2+y2+y)dcr,其间 d 是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图).d【分析】首要，将积分区域 d 分为大圆d1=(x,y)|x2+y24减去小圆d2=(

22、x,y)|(x+1)2+y2m1,再使用对称性与极坐标核算即可【详解】令d1=(x,y)|x2+y24,d2=(x,y)|(x+1)2+y20,xwa,b,故有x2y2d二d二.x2y2d，il、x2y2d二did22二2=.0叽r2dr一二2d%2-2cosor2dr.16二3329；(3二-2)所以,(,x2y2y)d；:吟(3二一2).d9证明:af出一”出，a，b)，j出=agdfaxf(x)dxm(axg(x)dx.由题设 g(x)至 0,xwa,b,bg(x)dx0,ab即faxf(x)dx0.bb因而xf(x)dx0);dr=q(1-ed)(其间 r 为收益)，并用弹性ed阐明价

23、格在何规模内改变时,dp收益添加(ii)推导降低价格反而使因为l 一lpdq,lpdqed0,所以 ed=-;由 q=pq 及 ed=-可推导ddqdpdqdppdqqdpdrdp=q(1-ed).【详解】(i)ed=pdqqdpp20-p(ii)由 r=pq,得drdpdqpdqp加二q(1g/xqo-ed).p又由 ed=1,得 p=10.20-p._dr-当 10p1,所以一0,dp故当 10p0 时，需要量对价格的弹性公式为pdq=pdqqdp-qdp使用需要弹性分析收益的改变情况有以下四个常用的公式:drdr1dr=(1-ed)qdp,7=(1-ed)q,-=(1-)p,dpdqed

24、erep=1-ed(收益对价格的弹性).(19)(本题满分 9 分)设级数(i)b 不能由内，出,两线性表不+242462468的和函数为 s(x).求:(i) s(x)所满足的一阶微分方程;(ii)s(x)的表达式.【分析】对 s(x)进行求导, 可得到s(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 s(x)的表达式.4x【详解】(i)s(x)=x246x十248x+2468易见 s(0)=0,x3s(x)=2x524x7+,246×2一=x2s(x).因而 s(x)是初值疑问x3y=xy+,y(0)=0的解.23一x(ii)万程 y=xy+的通解为2xdxy=e.x32一xdxedxc由初始条件

25、 y(0)=0,得 c=1.22xx2故y=+e2-1,因而和函数s(x)2xe2-1.【评注】本题归纳了级数求和疑问与微分方程疑问,(20)(本题满分 13 分)22002 年考过类似的题.试谈论当=(1,2,0)t,a?=(1,a+2,-3o)t,附=(-1,-b-2,a+2b)t,b=(1,3-3)t,a,b为何值时，(n)b 可由a,a2,的仅有地线性标明,并求出标明式；(in)b 可由 ai,ot2,奥线性标明，但标明式不只有,并求出标明式.【分析】将b可否由x瓯,内线性标明的疑问转化为线性方程组k1al+k2c2+k3的=b是不是有解的疑问即易求解.【详解】设稀有k1，k2,k3，使

26、得ki仍+k2的+k3%=0.(*)记a=(，的，03).对矩阵(a,0)施以初等行改换，有11-1111-11(a,b)=2a+2-b-23t0a-b10-3aa+2b-3_/0a-b0_(i)当 a=0 时，有11-11(a,b)t00-b1.:00011可知r(a)手r(a,0).故方程组(*)无解,(n)当a#0,且a#b时，有11(a,b)t0a00r(a)=r(a,0)=3,方程组(*)有仅有解:.1,1.ck1=1-一，k2=一,k3=0.aa此时 b 可由 3，%,%仅有地线性标明，其标明式为(m)当a=b#0时，对矩阵(a,0)施以初等行改换b 不能由 a,为，区线性标明-1

27、1b1ta-b011001a1010a0010r(a)=r(a,0)=2,方程组(*)有无量多解，其悉数解为11k1=1逐个,k2=+c,k3=c,其间c为任悬吊数.aab 可由 o),02,03 线性标明，但标明式不只有,其标明式为一1、/、0=(1)%+(+c)兔+c%.(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵(i)求a的特征值和特征向量(n)求可逆矩阵p,使彳导p4ap为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的核算疑问，一般可由求解特征方程【详解】(i)1二当b#0时,-b入一1-b-b入一1=入-1-(n-1)b入一(1-b)n4得a的特征值为1=1+(n-1)b,=2n=1

28、b.对a=1+(n-1)b,一1(a,b)t0-1-ba-b11-11.1a1a【评注】本题归于常规题型，a,曾考过两次(1991,2000).1b1bb19bbbah|e-a|=0和齐次线性方程组(正a)x=0来处置.-b-b1111-n100-p0n0-n010-199ata9a00n-n001-100-0j200-0解得自=（1,1,1，1）t,所以a的归于入的悉数特征向量为得基础解系为n-1-1.-1-1、11,一11-1n-1-1-1-1n-1-1-1-逐个逐个t-1-1n-1-1-1-1n-1-12二当b=0时，a=e,对任意可逆矩阵p,均有_1_一pap=e【评注】本题经过查询矩

29、阵的特征值和特征向量而直接查询了部队式的核算，齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等疑问，归于有一点归纳性的试题.另外，本题的解题思路是简略的，只需留心矩阵中富含一个不知道参数，然后一般要谈论其不一样取值情况.(22)(本题满分 13 分)a-111人设a,b为两个随机作业，且p(a)=,p(b|a)=,p(a|b)=,令4321,a生，1,b发生，x=jy_j0,a不发生，0,b不发生.j求(i)二维随机变量(x,y)的概率分布；(n)x与y的有联络数很丫;_22.(m)z=x+y的概率分布【分析】本题的要害是求出(x,y)的概率分布，所以只需将二维随机变量(x,y)的各取值对转化为随机作业a和b

30、标明即可.1【详解】(i)因为p(ab)=p(a)p(b|a)=一,121则有px=1,y=1=p(ab)二一，121px=1,y=0=p(ab)=p(a)-p(ab)二61px=0,y=1=p(ab)=p(b)-p(ab):122=0,y=0=p(ab)=1-p(a-助二一尸p(b)-p(ab)n，、1112px=0,y=0-1),所以p(b)=3lp(a|b)6px(或126123即(x,y)的概率分布为:111(ii)办法一:因为ex=p(a)=,ey=p(b)=6，e(xy)=12,2121ex=p(a)=,ey=p(b)=,463_2_25dx=ex2-(ex)2=，dy=ey2-(

31、ey)2=,1616-1cov(x,y)=e(xy)-exey=24x,y 的概率分布别离为013144i,11351则ex=,ey=,dx=一，dy=，e(xy)=,46163612田81故cov(x,y)=e(xy)exey=，然后24cov(x,y)_15dx.dy15(m)z 的可以取值为:0,1,2.pz=0=px=0,y=0=-,3、1pz=1=px=1,y=0px=0,y=1:4，、，、1pz=2=px=1,y=1=2，即z的概率分布为:z012p213412【评注】本题查询了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等核算问所以x与y的有联络数cov(x

32、,y)_115dxdy.1515办法二:x题，归于归纳性题型(23)(本题满分 13 分)设随机变量x的分布函数为其间参数a0,b1.设xi,x2，xn为来自全体x的简略随机样本(i)当 a=1 时，求不知道参数 b 的矩估量量(n)当 a=1 时，求不知道参数 b 的最大似然估量量(m)当 b=2 时，求不知道参数 a 的最大似然估量量【分析】本题是一个常规题型，只需留心求接连型全体不知道参数的矩估量和最大似然估量都须已知密度函数然后先由分布函数求导得密度函数.【详解】当 a=1 时，x的概率密度为x1,x_1,(i)因为.s-x令=x,解得b=b-1x-1(n)关于全体x的样本值x1，x2，xn,

33、似然函数为bnf(xi；0)=(x1x2-xn)ht0，当x1(i=1,2，n)时，l(0)0,取对数得n所以，参数 b 的矩估量量为xx-1ex二,xf(x；3dx=1x/dx=nl(b)i1xi1(i=1,2,n),其他.lnl(0)=nlnp-(p-1)vinxi,i1是 b 的最大似然估量量为nn“lnxii1（出）当 b=2 时，x的概率密度为o22af（x,b）=”,0，其他.4=1,2，n）时，a越大，l（a）越大，即a的最大似然估量值为?=minxx2，,x-,所以 a 的最大似然估量量为?=minx1,x2，xn.dlnl（掰dl-xinxi,bi4令dlnl（0）dbinxi=0,解得nnqlnxii1关于全体x的样本值x1,x2，xn,似然函数为2n2nal（份=nf（xi；a）=（xx2xn）3xi始=12,n）,xoc,0,当xi